一些数论定理
同余
欧拉定理
当 \((a,p) = 1\),
\[a^{\phi(p)}\equiv 1\pmod p
\]
\(a\) 对 \(\bmod p\) 的指标 \(d\) 满足 \(d | \phi(p)\), 但未必等于 \(\phi(p)\).
费马小定理
若 \(p \in \mathbb P\) (质数集合),
\[a^{p-1}\equiv 1\pmod p
\]
扩展欧拉定理
\[a^b\equiv
\begin{cases}
a^{b\%\phi(p)} & gcd(a,p)=1\\
a^b & gcd(a,p)\neq1,b<\phi(p)\\
a^{b\%\phi(p)+\phi(p)} & gcd(a,p)\neq 1 , b \geq \phi(p)
\end{cases} \pmod p
\]
或者说, 对于任意 \(x\ge\phi(m)\),
\[a^x\equiv a^{x\bmod\phi(m)+\phi(m)}\pmod m
\]
这可以用来给一些高次幂降幂到 \([0,2\cdot \phi(p))\).
