生成函数计数总结
生成函数计数总结
生成函数观点下的 Cayley 公式
我们知道 \(n\) 个节点有标号无根树有 \(n^{n-2}\) 种. 这其实也可以用生成函数求出.
设 \(G(x)\) 为指数生成函数, 其中 \(i (i > 0)\) 次项系数 \(g_i\) 表示 \(i\) 个节点的有标号有根树数目. 不考虑空树的影响, 即\(g_0 = 0\).
考虑一个根. 它每一个儿子的生成函数都与它相同, 为 \(G(x)\). 那么它的生成函数就是它儿子生成函数的一个组合, 即 \(e^{G(x)}\). 考虑到根本身的影响, 那么有:
\[G(x) = xe^{G(x)}
\]
所以,
\[G(x)e^{-G(x)} = x
\]
设 \(F(x) = xe^{-x}\), 那么 \(F(x)\), \(G(x)\) 互为复合逆.
可以拉格朗日反演:
\[\begin{aligned}
[x^n] G(x) & = \frac 1n [x^{n-1}]((\frac x{F(x)})^n) \\
& = \frac 1n [x^{n-1}](e^{nx}) \\
& = \frac {n^{n-1}}{n!}
\end{aligned}
\]
因此 \(n\) 个节点的有标号有根树有 \(n^{n-1}\) 种. 于是 \(n\) 个节点的有标号无根树有 \(n^{n-2}\) 种.
