[模板] tarjan/连通分量/dfs树
边的分类
有向图
有向图边分为四类: 树边, 前向边, 返祖边(后向边), 横叉边.
上图:
判定
对图进行dfs, 不考虑已经遍历过的点, 得到dfs序 \(dfn_i\).
在dfs过程中, 记录当前dfs栈. 对于边\((u,v)\),
- 树边: \(vis_v=0\);
- 前向边: \(vis_v=1\) 且 \(dfn_v > dfn_u\);
- 返祖边: \(vis_v=1\) 且 \(dfn_v < dfn_u\), 且 \(v\) 在当前栈内;
- 横叉边: \(vis_v=1\) 且 \(dfn_v < dfn_u\), 且 \(v\) 不在当前栈内.
无向图
如上图, 边仅分为两种:
- 树边: \(vis_v=0\) ;
- 前向边/返祖边, 这两个其实是同一条边. 可以通过 dfs 序区分.
有向图的强连通分量 && 缩点 (Tarjan)
Tarjan算法寻找有向图的强连通分量 – Miskcoo's Space
简介
Tarjan 强连通分量算法可以找出图的所有强连通分量, 并为每个点标记所在的强连通分量.
定义:
- \(dfn_i\) : \(i\) 节点的dfs序;
- \(low_i\) : \(i\) 节点通过最多一条返祖边能到达的最小dfs序.
- 栈, 维护:
- 当前节点到根的链;
- 在这条链中节点所在的强连通分量中, 且之前遍历过的点. (是在这个节点的子树中的一些节点)
- \(vi_i\): 表示节点是否在栈内.
应用
缩点.
tarjan求出的强连通分量标号为逆拓扑序.
代码
int dfn[nsz],low[nsz],pd=0,scc[nsz],ps=0;
int stk[nsz],top=0,vi[nsz];
// get scc
void tar(int p){
dfn[p]=low[p]=++pd;
stk[++top]=p,vi[p]=1;
for(int i=g1.hd[p],v;i;i=g1.edge[i].pr){
v=g1.edge[i].t;
if(dfn[v]==0){
tar(v);
low[p]=min(low[p],low[v]);
}
else if(vi[v])low[p]=min(low[p],dfn[v]); // 返祖边; 横叉边不更新
}
if(low[p]==dfn[p]){
++ps;
do{
vi[stk[top]]=0;
scc[stk[top]]=ps;
}while(stk[top--]!=p);
}
}
//缩点
void sol(){
rep(i,1,n)if(scc[i]==0)tar(i);
rep(i,1,n){
for(int j=g1.hd[i],v;j;j=g1.edge[j].pr){
v=g1.edge[j].t;
if(scc[i]!=scc[v])g2.adde(scc[i],scc[v]);
}
}
}
其他
事实上, 将 \(low_i\) 定义为 "\(i\) 节点通过任意条返祖边能到达的最小dfs序" 也是合法的, 即将
else if(vi[v])low[p]=min(low[p],dfn[v]);
改为
else if(vi[v])low[p]=min(low[p],low[v]);
不难发现这两个做法是等价的; 但在求双连通分量时这么写是错误的.
无向图的边双连通分量,割边,缩点
点双连通分量为对点的划分.
求边双/缩点代码和强连通分量几乎相同.
栈中维护的是:
- 当前点到根的路径
- 当前点所在点双中的点
//由于可能有重边, 搜索时传递的应为e(fa,p)这条边, 而非父亲这个点
int dfn[nsz],low[nsz],pd=0,ebcc[nsz],pb=0;
int stk[nsz],top=0,vi[nsz];
void tar(int p,int efa){
dfn[p]=low[p]=++pd;
stk[++top]=p,vi[p]=1;
forg(p,i,v){
if(i==(efa^1))continue;
if(dfn[v]==0){
tar(v,i); //warning
low[p]=min(low[p],low[v]);
}
else low[p]=min(low[p],dfn[v]);
}
if(dfn[p]==low[p]){ //efa is cut edge
++pb;
do{
ebcc[stk[top]]=pb;
vi[stk[top]]=0;
}while(stk[top--]!=p);
}
}
int in[nsz];
int sol(){
rep(i,1,n)if(dfn[i]==0)tar(i,0);
rep(i,1,n){
forg(i,j,v){
if(ebcc[v]!=ebcc[i])++in[ebcc[v]]; //a cut edge
}
}
}
无向图的点双连通分量,割点,缩点
点双连通分量为对边的划分, 因此栈中存边, 而非点.
割点 \(\iff\) 属于多个点双的点.
所有点双和割点形成一棵树结构.
缩点: 在新图中对每个割点和点双各建一个点, 将每个割点连向所在的点双.
代码较长, 但比较容易理解.
//cf962f
//无自环
int dfn[nsz],pd=0,low[nsz],iscut[nsz],curbcc[nsz],pbcc=0;
int bccsz[nsz];
set<int> inbcc[nsz];
pair<int,int> stk[msz];
int top=0;
void color(int p,int pbcc){
if(curbcc[p]!=pbcc){
inbcc[p].insert(pbcc);
curbcc[p]=pbcc;
++bccsz[pbcc];
}
}
//could not find
void tarj(int p,int fe){
dfn[p]=low[p]=++pd;
for(int i=hd[p],v;i;i=edge[i].pr){
if(i==fe)continue;
v=edge[i].t;
if(dfn[v]==0){
stk[++top]=make_pair(p,v);
tarj(v,i^1);
low[p]=min(low[p],low[v]);
if(low[v]>=dfn[p]){//点双
iscut[p]=1,++pbcc;
int x,y;
do{
x=stk[top].first,y=stk[top].second,--top;
color(y,pbcc);
}while(!(x==p&&y==v));
color(p,pbcc); //一条边属于一个点双
}
}
else if(dfn[v]<dfn[p]){//返祖边
low[p]=min(low[p],dfn[v]);
stk[++top]=make_pair(p,v);
}
}
if(fe==0){
if(hd[p]==0)color(p,++pbcc); //只有一个点的图
if(edge[hd[p]].pr==0)iscut[p]=0;//度数<=1的根不是割点
}
}
//debug
rep(i,1,n){
printf("p=%d iscut=%d\n",i,iscut[i]);
for(int v:inbcc[i])printf("%d ",v);
printf("\n");
}
//3 2 1 2 2 3
//p=1 iscut=0
//2
//p=2 iscut=1
//1 2
//p=3 iscut=0
//1
//6 5
//1 6 6 2 6 3 2 4 2 5
//p=1 iscut=0
//5
//p=2 iscut=1
//2 3 4
//p=3 iscut=0
//1
//p=4 iscut=0
//3
//p=5 iscut=0
//2
//p=6 iscut=1
//1 4 5
//5 6
//1 2 1 3 3 4 5 3 5 1 3 5
//p=1 iscut=1
//2 3
//p=2 iscut=0
//3
//p=3 iscut=1
//1 2
//p=4 iscut=0
//1
//p=5 iscut=0
//2
