BZOJ1025:[SCOI2009]游戏

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Description

　　windy学会了一种游戏。对于1到N这N个数字，都有唯一且不同的1到N的数字与之对应。最开始windy把数字按
顺序1，2，3，……，N写一排在纸上。然后再在这一排下面写上它们对应的数字。然后又在新的一排下面写上它们
对应的数字。如此反复，直到序列再次变为1，2，3，……，N。
如： 1 2 3 4 5 6 对应的关系为 1->2 2->3 3->1 4->5 5->4 6->6
windy的操作如下
1 2 3 4 5 6
2 3 1 5 4 6
3 1 2 4 5 6
1 2 3 5 4 6
2 3 1 4 5 6
3 1 2 5 4 6
1 2 3 4 5 6
这时，我们就有若干排1到N的排列，上例中有7排。现在windy想知道，对于所有可能的对应关系，有多少种可
能的排数。

Input

　　包含一个整数N,1 <= N <= 1000

Output

　　包含一个整数，可能的排数。

Sample Input

【输入样例一】

3

【输入样例二】

10

Sample Output

【输出样例一】

3

【输出样例二】

16

Solution

就是求所有长度为\(n\)的置换的循环节长度的种数.

一个置换的循环节等于它各个循环拆分长度的lcm. 所以问题变为:
已知\(\sigma_{i=1}^k a_i = n\), 求\(lcm\{a_i\}\)的种数.

考虑到

\[lcm\{a_i\} = \prod p_i^{max\{\alpha_i\}} \]

其中\(p_i\)为质数. 也就是每个数唯一分解后对指数取max的结果.

我们可以分开考虑每个质数: