抽象代数 第三章 群

抽象代数 第三章 群

好久没有认真学习问题求解了=。=，一转眼就上了一本新的书TJ，介绍抽象代数的入门书。
我觉得在wiki已经说得很好了 wiki初等数论 需要科学上网

学习抽象代数之前

复习一下之前学过的相关知识

子集族和指标集

设J是一个非空集合，对于每一个j \(\in\) J,对应集合S的一个子集\(S_j\),则通常说
  \(\lbrace S_j|S_j \subset S,j \in J\rbrace\)
是S的一个以J为标号的子集族，J称为指标集

等价关系

同时满足反射性、对称性和传递性。

学习抽象代数的第一节课

代数结构

这章不是重点讲代数结构本身，代数结构=集合+在集合上定义的运算。
对于集合和代数运算本身还有更加精准的定义，不论。

群

群的定义

群是一种特殊的代数结构，设这个代数运算为\(\circ\)，则这个运算满足

1. 结合律 :\((a\circ b )\circ c=a\circ (b \circ c)\)
2. 在这个运算下有且只有一个单位元\(e\),对于集合中的任意元素\(a\)有:\(a \circ e=e \circ a=a\)
3. 在这个运算中每一个集合中的元素都有且有唯一逆元素在集合中: \(g \circ g^{-1}=g^{-1} \circ g=e\)
   此时集合\(G\)在运算\(\circ\)下构成一个群，记作\((G,\circ)\)，有时简称G是一个群

群的性质

1. 单位元唯一
2. 满足左右消去律
3. 不需要满足交换律，若满足交换律，则这是一个“交换群”，也称“阿贝尔群”
4. 群不一定需要零元素

子群

(G,\(\circ\))是一个群，如果G的子集H对于\(\circ\)也构成群，那么称(H,\(\circ\))是(g,\(\circ\))的子群，简称H是G的子群。
举例子：偶数加法群是整数加法群的一个子群

子群的性质

1.子群的单位元等于群的单位元
2.G是一个群，G的任意一个子群族的交集仍然是G的子群
3.H，K是G的子群，如果H，K的并集也是G的子群，那么\(H\subseteq G\),或者\(G\subseteq H\)。

一个群至少有两个子群：

1. 平凡子群：仅仅有单位元一个元素的群
2. 原来群本身

子群的判定

1. 群G的单位元e在H中
2. 如果\(h_1,h_2 \in H\)，那么\(h_1h_2\in H\)
3. 如果\(h \in H\)，那么\(h^{-1} \in H\)

以上三个条件可以用一句判定来实现

proposition 3.31 如果H是G的一个子集，那么H是G的子集，当且仅当H不为空集，且对于任意\(h_1,h_2 \in H\)有\(h_1h_2^{-1} \in H\)

生成子群

设G是个群，S为其一非空子集，J为G的所有包含S的子集族，则称子群
  \(\cap_{H \in J} H\)
为S在G中的生成子群，记作<S>

这是什么鸡儿完全听不懂=。=
简单的说就是：在抽象代数中，群G的生成集合是子集 S 使得所有 G 的有元素都可以表达为 S 的元素和它们的逆元中的有限多个元素的乘积。

循环群

对于生成子群的概念<S>,特别地，如果S只有一个元，即\(S=\lbrace s \rbrace\)时，群G称为循环群，如果有\(g \in G\)则G=<g>

有限循环群

在循环群G=<g>中,如果有两个不同的整数r,k,使得\(g^r=r^k\)，则存在整数m使得

1. \(g^m=e\)
2. 当\(1\leq i < j \leq m\)，\(g^i \neq g^j\)
3. 若有整数t，\(g^t=e\)则m整除t
4. <g>=\(\lbrace e,g,g^2,...,g^{m-1}\rbrace\)

无限循环群

如果对于任意不同的r,k，\(g^r\neq g^k\),那么<g>是一个无限群
eg:整数加法群可以写成<1>

群的基础性质

proposition 3.17 单位元素是唯一的，只有唯一的元素\(e\in G\)使得eg=ge=g，对于任意属于G的元素g。
proposition 3.18 对于群G中的任意元素g，存在唯一逆元\(g^{-1}\)
proposition 3.19 对于群G中的任意元素a,b。有\(((ab)^{-1})=b^{-1}a^{-1}\).
proposition 3.20 对于群G中的任意元素a,有\((a^{-1})^{-1}=a\)
proposition 3.21 对于群G中的任意元素a,b,则等式ax=b、xa=b在G中拥有唯一的解
proposition 3.22 对于群G中的任意元素a,b,c,则等式ba=ca意味着b=c、等式ab=ac意味着b=c。(满足左右消去律)

一些更加普遍的性质

theorem 3.23

1. \(g^mg^n=g^{m+n}\), for all m,n\(\in\) Z;
2. \((g^m)^n=g^{mn}\), for all m,n\(\in\) Z;
3. \((gh)^n=(h^{-1}g^{-1})^{-n}\), for all n\(\in\) Z;
   如果这个群是阿贝尔群则还有如下性质
4. \((gh)^n=g^nh^n\)
   如果这个群是建立在实数加法运算上，则可以直接改写，此处略。