图论引导笔记 第八章 匹配与分解
8.1 匹配
定义:
1、(边的集合)独立的:G.E的一个子集,且该集合中的任意两条边不相邻接。称边独立集。
2、匹配(matching):图G的一个独立集。
3、匹配(match):二部图的两个部集的点集之间的一种映射关系,该映射关系满足于所连接的边是一个匹配(matching)
*以下考虑的是二部图G,他的两个集部是U和W,且|U|≤|W|,X是U的非空子集
4、(非空点集的)邻域:集合中所有顶点邻域的并。设集合为X,记作N(X)
5、(集部是)友好的:对于集部U,他的任意非空子集X,都有|N(X)|≥|X|。(翻译一下就是说,在这个部里任意取一部分点都能形成匹配)
6、互异代表元系:有一串非空有限集合{S1,S2,…,Sn},存在n个不同的元素{x1,x2,…,xn}使得xi∈Si,则这串{xi}称为互异代表元系。(而不是指;仅仅这个集合有别的集合没有。显然,|∪{Si}|≥n)
7、(二分图)交错路:一条属于匹配的边和一条不属于匹配的边交错构成的路。
8、(任意分图)最大匹配:具有最大基数的匹配, 对于n阶二分图,最大匹配数不会超过floor(n/2)
9、完美匹配:(此处讨论二分图)G的阶数为偶数,匹配基数等于n/2,G中任意顶点均能通过M匹配到G中另一个顶点。完美匹配也必定是最大匹配。使用:完美匹配要求图的一个集部是友好的
和边有关的加<'>,和点有关的不加。
11、边独立数:G 中边独立集的最大基数。记作β'(G)。阶为n的图存在完美匹配当且仅当n为偶数且β'(G)=n/2.
12、覆盖:顶点与其关联边,互为彼此的覆盖。
13、边覆盖:覆盖G所有点的边的集合,称为是G的一个边覆盖。
14、边覆盖数:G中所有边覆盖最小的基数,记作α'(G),当且仅当G不包含孤立点的时候有定义。
15、最小边覆盖:具有最小边覆盖基数的边覆盖。
边覆盖/独立有关的一些性质:对于整数n≥3,1≤r≤s,
边覆盖数有:α'(Cn)=α'(Kn)=ceiling(n/2); α'(K_r,s)=s
边独立数有:β'(Cn)=β'(Kn)=floor(n/2); β'(K_r,s)=r
所以:α'(Cn)+β'(Cn)= α'(Kn)+β'(Kn)=n; α'(K_r,s)+ β'(K_r,s)=r =s+r
以上性质很显然可以看出来。
16、(顶点集合)独立性:集合中的点互不邻接。称(点)独立集。
17、点独立数(简称为独立数):G中点独立集的最大基数。
18、最大独立集:G中基数最大的点独立集
19、点覆盖:某个顶点子集可以覆盖G的所有边
20、点覆盖数:G的所有点覆盖的最小基数。
21、最小点覆盖集:G点基数最小的点覆盖
点覆盖/独立有关的一些性质:对于整数n≥3,1≤r≤s,
点覆盖数有:α(Cn)= ceiling(n/2); α(Kn)=n-1; α(K_r,s)=s
点独立数有:β(Cn)= floor(n/2); β(Kn)=1; β(K_r,s)=r
所以:α(Cn)+β(Cn)= α(Kn)+β(Kn)=n; α(K_r,s)+ β(K_r,s)=r =s+r
以上性质很显然可以看出来。
定理:
8.3 (Hall定理)r=|U|≤|W|,二分图G包含一个基数为r的匹配当且仅当U是友好的。(十分重要)
证明:充分性:显然。必要性:反证法,假设U是友好的但是并没有这样的匹配。假设M为有最多边数的匹配,|M|<r。在U中存在无法与M关联的点u,交错路上的顶点都可以连接到点u,故u的闭邻域上的任意一点N[u]都属于S,进一步找出矛盾。
8.3*推论:一个集族是否有互异代表元系,与二部图是否包含从U到W的一个匹配相对应。证明:显然。
8.4 非空有限集族{S1,S2,…,Sn}有一个互异代表元系,当且仅当对于任意1≤k≤n,集族中任意k个集合的并至少包含K的元素。
8.5 (婚姻定理)这不是和8.3/8.4一样的么
8.6任意r正则二部图均有完美匹配。证明:显然|U|=|W|, 讨论出|N(X)|≥|X|
8.7 (Gallai恒等式)对于任意的,不包含孤立点的n阶图G,有:α'(G)+β'(G)=n。
证明: (1)α'(G)+β'(G)≤n:设β'(G)=k(最大独立边),则G的最大匹配为k条边并覆盖了2k 个点。G中余下的n-2k顶点可以被n-2k边覆盖,取这k条边和n-2k条边,有α'(G)≤(n-2k)+k=n-k。子命题成立。
(2)α'(G)+β'(G)≥n:设alpha(G)=l(最小边覆盖),则对于边覆盖X的诱导子图F=<X>,F不含有圈也不含有长度为3的迹(不然去掉中间的边仍然是覆盖),所以F的每一个连通分支都是星图(我也不知道星图是啥),F是森林,边数l=n-(n-l),所以F有l个连通分支,从每个连通分支里面取出一条边,即可以构造出基数为n-l的匹配,故β'(G)≥n-l。子命题成立。
综上原命题成立。
8.7 (Gallai恒等式)对于任意的,不包含孤立点的n阶图G,有:α(G)+β(G)=n。
posted on 2017-10-17 21:38 uangjianghui 阅读(587) 评论(0) 编辑 收藏 举报