图论引导笔记 第八章 匹配与分解

8.1 匹配

定义：

1、（边的集合）独立的：G.E的一个子集，且该集合中的任意两条边不相邻接。称边独立集。

2、匹配（matching）：图G的一个独立集。

3、匹配（match）：二部图的两个部集的点集之间的一种映射关系，该映射关系满足于所连接的边是一个匹配（matching）

 

*以下考虑的是二部图G，他的两个集部是U和W，且|U|≤|W|，X是U的非空子集

4、（非空点集的）邻域：集合中所有顶点邻域的并。设集合为X，记作N（X）

5、（集部是）友好的：对于集部U，他的任意非空子集X，都有|N(X)|≥|X|。（翻译一下就是说，在这个部里任意取一部分点都能形成匹配）

6、互异代表元系：有一串非空有限集合{S1,S2,…,Sn}，存在n个不同的元素{x1,x2,…,xn}使得xi∈Si,则这串{xi}称为互异代表元系。（而不是指；仅仅这个集合有别的集合没有。显然，|∪{Si}|≥n）

7、（二分图）交错路：一条属于匹配的边和一条不属于匹配的边交错构成的路。

8、（任意分图）最大匹配：具有最大基数的匹配, 对于n阶二分图，最大匹配数不会超过floor(n/2)

9、完美匹配：（此处讨论二分图）G的阶数为偶数，匹配基数等于n/2，G中任意顶点均能通过M匹配到G中另一个顶点。完美匹配也必定是最大匹配。使用：完美匹配要求图的一个集部是友好的

 

和边有关的加<'>,和点有关的不加。

11、边独立数：G 中边独立集的最大基数。记作β'(G)。阶为n的图存在完美匹配当且仅当n为偶数且β'(G)=n/2.

12、覆盖：顶点与其关联边，互为彼此的覆盖。

13、边覆盖：覆盖G所有点的边的集合，称为是G的一个边覆盖。

14、边覆盖数：G中所有边覆盖最小的基数，记作α'(G)，当且仅当G不包含孤立点的时候有定义。

15、最小边覆盖：具有最小边覆盖基数的边覆盖。

 

边覆盖/独立有关的一些性质：对于整数n≥3，1≤r≤s，

边覆盖数有：α'(Cn)=α'(Kn)=ceiling(n/2);     α'(K_r,s)=s

边独立数有：β'(Cn)=β'(Kn)=floor(n/2);        β'(K_r,s)=r

所以：α'(Cn)+β'(Cn)= α'(Kn)+β'(Kn)=n;        α'(K_r,s)+ β'(K_r,s)=r =s+r

以上性质很显然可以看出来。

 

 

16、（顶点集合）独立性：集合中的点互不邻接。称（点）独立集。

17、点独立数（简称为独立数）：G中点独立集的最大基数。

18、最大独立集：G中基数最大的点独立集

19、点覆盖：某个顶点子集可以覆盖G的所有边

20、点覆盖数：G的所有点覆盖的最小基数。

21、最小点覆盖集：G点基数最小的点覆盖

 

点覆盖/独立有关的一些性质：对于整数n≥3，1≤r≤s，

点覆盖数有：α(Cn)= ceiling(n/2);     α(Kn)=n-1;    α(K_r,s)=s

点独立数有：β(Cn)= floor(n/2);    β(Kn)=1;    β(K_r,s)=r

所以：α(Cn)+β(Cn)= α(Kn)+β(Kn)=n;        α(K_r,s)+ β(K_r,s)=r =s+r

以上性质很显然可以看出来。

 

定理：

8.3 （Hall定理）r=|U|≤|W|，二分图G包含一个基数为r的匹配当且仅当U是友好的。（十分重要）

证明：充分性：显然。必要性：反证法，假设U是友好的但是并没有这样的匹配。假设M为有最多边数的匹配，|M|<r。在U中存在无法与M关联的点u，交错路上的顶点都可以连接到点u，故u的闭邻域上的任意一点N[u]都属于S，进一步找出矛盾。

8.3*推论：一个集族是否有互异代表元系，与二部图是否包含从U到W的一个匹配相对应。证明：显然。

8.4 非空有限集族{S1,S2,…,Sn}有一个互异代表元系，当且仅当对于任意1≤k≤n,集族中任意k个集合的并至少包含K的元素。

8.5 （婚姻定理）这不是和8.3/8.4一样的么

8.6任意r正则二部图均有完美匹配。证明：显然|U|=|W|, 讨论出|N(X)|≥|X|

 

8.7 (Gallai恒等式)对于任意的，不包含孤立点的n阶图G，有：α'(G)+β'(G)=n。

证明：    （1）α'(G)+β'(G)≤n：设β'(G)=k(最大独立边),则G的最大匹配为k条边并覆盖了2k 个点。G中余下的n-2k顶点可以被n-2k边覆盖，取这k条边和n-2k条边，有α'(G)≤(n-2k)+k=n-k。子命题成立。

（2）α'(G)+β'(G)≥n：设alpha(G)=l(最小边覆盖),则对于边覆盖X的诱导子图F=<X>，F不含有圈也不含有长度为3的迹（不然去掉中间的边仍然是覆盖），所以F的每一个连通分支都是星图（我也不知道星图是啥），F是森林，边数l=n-(n-l)，所以F有l个连通分支，从每个连通分支里面取出一条边，即可以构造出基数为n-l的匹配，故β'(G)≥n-l。子命题成立。

综上原命题成立。

 

8.7 (Gallai恒等式)对于任意的，不包含孤立点的n阶图G，有：α(G)+β(G)=n。