状压DP

状压DP

状压 DP 是动态规划的一种，通过将状态压缩为整数来达到优化转移的目的。

例题

https://www.luogu.com.cn/problem/P1896

思路

一行中所有放置的状态可以用二进制数表示：如01000111（1代表当前位置放置物品）
因此，我们可以先找出所有的合法状态，(利用dfs进行递归)
把合法状态离散化
并用sit[i]记录第i个状态的表示的十进制数，sta[i]记录第i个状态所放置物品数量
然后枚举每一行的状态，并对上一行的状态继承转移（前提是互相合法）
转移方程

Code

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const int maxn       = 1e5 + 10;

int n, m;
int sit[maxn], sta[maxn], cnt;
// 当前的状态//当前状态所用的数量//状态总数
int dp[15][2010][110];  // ijk;记录前i行，第i行状态j，总用k个的方案
void dfs(int x, int num, int cur) {
    if (cur >= n) {
        sit[++cnt] = x;
        sta[cnt]   = num;
        return;
    }
    dfs(x, num, cur + 1);
    dfs(x + (1 << cur), num + 1, cur + 2);
}
bool check(int x, int y) {  // 利用位运算的性质判断之间是否合法
    if (sit[x] & sit[y]) return false;
    if ((sit[x] << 1) & sit[y]) return false;
    if (sit[x] & (sit[y] << 1)) return false;
    return true;
}
void solve() {
    cin >> n >> m;
    dfs(0, 0, 0);  // 预处理出一行中所有合法状态
    // 用cnt记录合法状态数量
    for (int i = 1; i <= cnt; i++)  // 对第一行的状态方案赋值
        dp[1][i][sta[i]] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {                            // 枚举行
        for (int j = 1; j <= cnt; j++) {                      // 枚举当前行状态
            for (int k = 1; k <= cnt; k++) {                  // 枚举上一行状态
                if (!check(j, k)) continue;                   // 不合法
                for (int l = sta[j]; l <= m; l++) {           // 枚举全部合适的数量
                    dp[i][j][l] += dp[i - 1][k][l - sta[j]];  // 方案累加
                }
            }
        }
    }
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= cnt; i++)  // 方案累加
        ans += dp[n][i][m];
    cout << ans;
}

例题

https://www.luogu.com.cn/problem/P5911

思路

跟上面一样，依然是对状态进行枚举
不同的是，这一题的每一个状态都是相对合法的，所以不需要离散化
我们枚举从0到1<<n的每个状态，代表我此时选的过桥的人集合，
初始化每个状态的最大过桥时间和总重，开始转移；
我们可以转移：对于状态i，我选取它的子集j和k（j+k==i,j&k=0,j|k=1,i^j=k)
i由j和k组成，所以
状态转移方程:
dp[i]=min(dp[i],dp[j]+dp[i^j])

Code

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const int maxn       = 1e5 + 10;

int W, n;
int w_s[maxn], t_s[maxn];
int s, dp[maxn];
void solve() {
    cin >> W >> n;
    s = (1 << n) - 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int t, w;
        cin >> t >> w;
        for (int j = 0; j <= s; j++) {
            if ((1 << (i - 1)) & j) {
                t_s[j] = max(t_s[j], t);
                w_s[j] += w;
            }
        }
    }
    memset(dp, MAXN, sizeof(dp));
    for (int i = 0; i <= s; i++) {
        if (w_s[i] <= W) dp[i] = t_s[i];
        for (int j = i; j; j = i & (j - 1)) {
            dp[i] = min(dp[i], dp[j ^ i] + dp[j]);
        }
    }
    cout << dp[s];
}