区间DP

区间DP

对一段连续的区间进行动态规划，使其达到预期

特点

合并：即将两个或多个部分进行整合，当然也可以反过来；

特征：能将问题分解为能两两合并的形式；

求解：对整个问题设最优值，枚举合并点，将问题分解为左右两个部分，最后合并两个部分的最优值得到原问题的最优值。

特别——链变环

对于原区间是链，不能计算从后到前的问题，最常用法是把链后接链，变成相对的环；如1，2，-，n，1，2，-，n；

例题

https://www.luogu.com.cn/problem/P1880

令 f(i,j) 表示将区间 [i,j] 内的所有石子合并到一起的最大得分。
状态转移方程： f(i,j)=max(min){f(i,k)+f(k+1,j)+sum[j]-sum[i-1] }。sum_i 表示 a 数组的前缀和

先对区间长度len枚举(2<=len<=n);
然后枚举区间左端点i(2<=i<=2*n-len),同时得出右端点j;
最后枚举合并点k(i<=k<j);

Code

点击查看代码

const int maxn = 2e5 + 10;
int n, a[110];
int sum[210], fmx[210][210], fmn[210][210];
void solve() {
    cin >> n;
    memset(fmn, MAXN, sizeof(fmn));
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
        sum[i]    = sum[i - 1] + a[i];
        fmn[i][i] = 0;
    }
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        sum[i + n]        = sum[i + n - 1] + a[i];
        fmn[i + n][i + n] = 0;
    }
    int mx = 0, mn = MAXN;
    for (int len = 2; len <= n; len++) {
        for (int i = 1; i <= 2 * n - len; i++) {
            int j = i + len - 1;
            for (int k = i; k < j; k++) {
                fmx[i][j] = max(fmx[i][j], fmx[i][k] + fmx[k + 1][j] + sum[j] - sum[i - 1]);
                fmn[i][j] = min(fmn[i][j], fmn[i][k] + fmn[k + 1][j] + sum[j] - sum[i - 1]);
            }
        }
        if (len == n) {
            for (int i = 1; i <= n; i++) {
                mx = max(mx, fmx[i][i + n - 1]);
                mn = min(mn, fmn[i][i + n - 1]);
            }
        }
    }
    cout << mn << '\n' << mx;
}

细节

小优化：变环后的链只用到n-1就行；

对于求最小的结果，需要预先对fmn赋一个MAXN，再对每一个fmn[i][i]赋0：合并自身不需代价