背包DP——分组背包

分组背包

对物品进行分组，组内物品最多选一个或全不选；
其实质是变化的01背包：从对每个物品的01变成对每组物品的01，（可以看作一个物品有多个价值，一个代表一组）

解法

对数据分组，重新构建，变成01背包的模式
三层循环，先对组循环，中间是背包容量，最后是组内物品

例题

https://www.luogu.com.cn/problem/P1757

通天之分组背包

题目背景

直达通天路·小 A 历险记第二篇

题目描述

自 \(01\) 背包问世之后，小 A 对此深感兴趣。一天，小 A 去远游，却发现他的背包不同于 \(01\) 背包，他的物品大致可分为 \(k\) 组，每组中的物品相互冲突，现在，他想知道最大的利用价值是多少。

输入格式

两个数 \(m,n\)，表示一共有 \(n\) 件物品，总重量为 \(m\)。

接下来 \(n\) 行，每行 \(3\) 个数 \(a_i,b_i,c_i\)，表示物品的重量，利用价值，所属组数。

输出格式

一个数，最大的利用价值。

样例 #1

样例输入 #1

45 3
10 10 1
10 5 1
50 400 2

样例输出 #1

10

提示

\(0 \leq m \leq 1000\)，\(1 \leq n \leq 1000\)，\(1\leq k\leq 100\)，\(a_i, b_i, c_i\) 在 int 范围内。

Code

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const int maxn = 1e7 + 10;

int n, m;
int dp[1010], w[110][1100], v[110][1100];
void solve() {
    cin >> m >> n;
    map<int, int> zu;
    int cnt = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        if (!zu[c]) { cnt++; }
        zu[c]++;
        w[c][zu[c]] = a;
        v[c][zu[c]] = b;
    }

    for (int i = 1; i <= cnt; i++) {
        for (int j = m; j >= 0; j--) {
            for (int k = 1; k <= zu[i]; k++) {
                if (j >= w[i][k]) { dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i][k]] + v[i][k]); }
            }
        }
    }

    cout << dp[m];
}