背包DP——多重背包

合集 - DP(11)

1.背包dp——01背包2024-06-272.背包DP——完全背包2024-06-29

3.背包DP——多重背包2024-06-29

4.背包DP——混合背包2024-06-295.背包DP——二维费用背包2024-06-306.背包DP——分组背包2024-06-307.背包DP——依赖背包2024-07-028.区间DP2024-07-029.DAG上的DP2024-07-0310.树形DP2024-07-1011.状压DP2024-07-15

收起

多重背包也是 0-1 背包的一个变式。与 0-1 背包的区别在于每种物品有 k 个，而非一个。

朴素

直接把相同的每个物品视作各个单独的物品，没有关联，仅条件相同；
转换后直接用01背包的状态转移方程

注意：在大数据下容易爆空间时间

二进制分组优化

与朴素相比，优化利用二进制原理（任意数可以由多个不同 2^j 数的和表示）
把每种物品的数量k分成多个2^{j，如1，2，4，8，16……；若k非2}i，最后剩下的单独成一组

举几个例子

优化后就可以直接用01背包解决

例题

https://www.luogu.com.cn/problem/P1776

宝物筛选

题目描述

终于，破解了千年的难题。小 FF 找到了王室的宝物室，里面堆满了无数价值连城的宝物。

这下小 FF 可发财了，嘎嘎。但是这里的宝物实在是太多了，小 FF 的采集车似乎装不下那么多宝物。看来小 FF 只能含泪舍弃其中的一部分宝物了。

小 FF 对洞穴里的宝物进行了整理，他发现每样宝物都有一件或者多件。他粗略估算了下每样宝物的价值，之后开始了宝物筛选工作：小 FF 有一个最大载重为 $W$ 的采集车，洞穴里总共有 $n$ 种宝物，每种宝物的价值为 $v_i$，重量为 $w_i$，每种宝物有 $m_i$ 件。小 FF 希望在采集车不超载的前提下，选择一些宝物装进采集车，使得它们的价值和最大。

输入格式

第一行为一个整数 $n$ 和 $W$，分别表示宝物种数和采集车的最大载重。

接下来 $n$ 行每行三个整数 $v_i,w_i,m_i$。

输出格式

输出仅一个整数，表示在采集车不超载的情况下收集的宝物的最大价值。

样例 #1

样例输入 #1

4 20
3 9 3
5 9 1
9 4 2
8 1 3

样例输出 #1

47

提示

对于 $30\mathrm{\%}$ 的数据，$n\le \sum m_i\le {10}^4$，$0\le W\le {10}^3$。

对于 $100\mathrm{\%}$ 的数据，$n\le \sum m_i\le {10}^5$，$0\le W\le 4\times {10}^4$，$1\le n\le 100$。

Code

点击查看代码

const int maxn = 1e7 + 10;
int dp[maxn], w[maxn], v[maxn], sum[maxn];
int wnew[maxn], vnew[maxn];
void solve() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    int cnt = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> w[i] >> v[i] >> sum[i];
        int x = sum[i], j = 1;
        while (x) {
            if (j <= x) {
                x -= j;
                wnew[++cnt] = w[i] * j;
                vnew[cnt]   = v[i] * j;
                j <<= 1;
            }
            else {
                wnew[++cnt] = w[i] * x;
                vnew[cnt]   = v[i] * x;
                break;
            }
        }
    }
    for (int i = 1; i <= cnt; i++) {
        for (int j = m; j >= wnew[i]; j--) {
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - wnew[i]] + vnew[i]);
        }
    }

    cout << dp[m];
}