C# 定积分求周长&面积原理 代码实现
前言：
前些日子，因为工作原因，接触到了求解曲线周长，真的是搞了很久，学生时代真的很简单，但是如今的我来说，忘记了....很多人跟我应该一样。
所以来巩固加强一下记忆。一开始的时候，求周长嘛，找公式呗，什么matlab呀，乱七八糟的，晕，最后找到了可能还不能满足项目的需求，因为可能计算量过大。（我就是这样子的，灵活性相对较低）
还有就是明明自己可以用代码实现，为什么非要插件，工具呐，这么不自信的？
所以，“一怒之下”，自己去看了一下定积分求周长的原理，自己还是用代码来实现吧。
(以下内容纯是个人这段时间的理解，如果有错误的，欢迎指正出来。)
首先需要说说两个概念，曲线和周长，因为我们要求他们嘛。
曲线：
这个世界，有曲线吗？我的回答是，没有。那...这...曲线是由无数个直接拼接而成。再准确的说无数个很短的曲线拼接而成。
（如果您彻底理解了这句话，后面就不用看了，基本就没了。）
面积：
与周长的概念类似，没有正方形，没有圆形。只有三角形，所有的图形都是三角形拼接而成。而两个三角形拼成长方形，而我们的面积是由无数个长方形，拼接而成。
（定积分原理的参考图）
源码实现：
double GetLength(float start,float end) { double sumLength = 0; float eachX = (end - start) / testCount; for (int i = 1; i < testCount;i++ ) { double curY =ArcFunction(start+eachX*i); double previousY = ArcFunction(start+eachX*(i-1)); //根据c²=a²+b² double curLength = Math.Sqrt(Math.Pow(eachX, 2) + Math.Pow(curY - previousY, 2)); sumLength += curLength; } return sumLength; }
解释：
testCount，即自定义的测试数量，可以理解为精细度，值越大，计算量越大，数据越准确，这个可看你项目需求精细度，通过该变量
可在实现最少的计算量情况，实现你要的效果。
eachX，就是你的曲线被分成N份，每份的长度。
curY,当前点的y轴分量
previousY，上一个点的y轴分量，
curLength,即如图
（剩余的部分，代码里面含解释，个人喜欢放在源码里面，原生的，纯24k原创）
1 int testCount = 1000; //所谓的测试细致度吧，可动态调控，你自己掌握。 2 /// <summary> 3 /// 通过已知周长，获取x轴的分量 4 /// </summary> 5 /// <param name="length"></param> 6 /// <returns></returns> 7 double GetRateXByLength(double length) 8 { 9 float eachX = 1.0f; 10 for (int i = 1; i < testCount; i++) 11 { 12 double curY = ArcFunction(eachX * i); 13 double previousY = ArcFunction(eachX * (i - 1)); 14 double curLength = Math.Sqrt(Math.Pow(eachX, 2) + Math.Pow(curY - previousY, 2)); 15 length -= curLength; 16 if(length<=0) 17 { 18 return i * eachX; 19 } 20 } 21 return testCount * eachX; 22 } 23 24 25 26 27 28 /// <summary> 29 /// start到end范围内的面积 30 /// </summary> 31 /// <param name="start"></param> 32 /// <param name="end"></param> 33 /// <returns></returns> 34 double GetArea(float start,float end) 35 { 36 double sumAera = 0; 37 38 float eachX = (end - start) / testCount; 39 for (int i = 1; i < testCount; i++) 40 { 41 double curY = ArcFunction(start + eachX * i); 42 //面积 = 长*宽 43 double curAera = curY * eachX; 44 sumAera += curAera; 45 } 46 return sumAera; 47 } 48 49 50 51 /// <summary> 52 /// 通过已知面积，获取x轴分量 53 /// </summary> 54 /// <param name="aera"></param> 55 /// <returns></returns> 56 double GetRateXByAera(double aera) 57 { 58 float eachX = 1.0f; 59 for (int i = 1; i < testCount; i++) 60 { 61 double curY = ArcFunction(eachX * i); 62 double curAera = curY * eachX; 63 aera -= curAera; 64 if(aera<=0) 65 { 66 return i * eachX; 67 } 68 } 69 return testCount*eachX; 70 } 71 72 73 74 /// <summary> 75 /// 通过x分量，得出y的值。(好像意义不大，但是好像可能有些人不是很理解，写给某些人看的，一目了然) 76 /// </summary> 77 /// <param name="x"></param> 78 /// <returns></returns> 79 double GetYByX(float x) 80 { 81 return ArcFunction(x); 82 } 83 84 85 /// <summary> 86 /// 核心控制函数。 87 /// </summary> 88 /// <param name="x"></param> 89 /// <returns></returns> 90 double ArcFunction(float x) 91 { 92 return Math.Pow(x, 2); //这边我用幂函数来测试。各位爷可以换其他函数啊。 93 94 //注：如果对曲线灵活性要求很高，推荐使用贝塞尔曲线。 95 //详情可参考： 96 }
补充：这边，我对贝塞尔曲线做一下补充吧。因为我因为什么幂函数，指数函数遇到的肯，因为这些函数毕竟还不是那么灵活，都具有一定“规律”。
贝塞尔曲线的灵活，受6个参数控制，三个点嘛。（二维空间）
详情可参考这篇：http://www.sohu.com/a/118656687_466876
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可以使用第三方插件：开源Math.Net进行数值积分。
参考：https://www.cnblogs.com/asxinyu/p/4301017.html
public static double OnClosedInterval(Func<double, double> f, double intervalBegin, double intervalEnd);
void Start () {
var result = Integrate.OnClosedInterval(TestFunc, 0, 24);
Debug.Log(result);
}
double TestFunc(double x)
{
return x * x;
}
但是上述的result为面积，也是dy。
再根据定积分求弧长公式：
即：弧长 = √(1+result²)
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