基本矩阵/消元复习

模板有标记

目录

• P3390【矩阵快速幂】
• P6772
• P5303
• P3389【高斯消元】
• P2455【高斯消元（判无解）】
• P4783【矩阵求逆】
• P4035

---

P3390【矩阵快速幂】

【记录】

P6772

拆点， 把每个点 x 拆成几个形如 “还有 k 秒到达点 x” 的点， 就可以用矩阵表示转移了。

由于中间要插入几次美食节， 所以把转移矩阵预处理出来， 到时候直接用。

【记录】

Tabsize = 1 配合高挑的字体可以获得超神的代码观感。

P5303

首先可以发现必然是一个完整的 \(2\times K\quad (K\ge 3)\) 的长条的两端包容了那两个 \(1\times1\) 的格子， 否则可以证明不能完整地填完 \(2\times N\) 的空间。

且如果 \(K\) 是奇数， 那么 \(1\times1\) 的格子异行，反之同行。

设 \(f_i\) 表示 \(N = i\) 时的答案， \(g_i\) 表示 \(2\times i\) 的空间只用 \(1\times2\) 的格子覆盖的答案， \(\hat g_i\) 表示 \(\sum\limits_{0\le j\le i} g_j\)， 那么有：

\[f_i = f_{i-1}+f_{i-2}+2\hat g_{i-3} \]

\(g\) 实际上就是斐波那契数列， \(g_2=2\)。

故有结论：\(\hat g_i = g_{i+2} - 1\)。

所以有：

\[f_i = f_{i-1}+f_{i-2}+2g_{i-1}-2 \]

\[\left[ \begin{matrix} 1&1&2&2&-2\\ 1&0&0&0&0\\ 0&0&1&1&0\\ 0&0&1&0&0\\ 0&0&0&0&1 \end{matrix} \right] \times \left| \begin{matrix} f_i\\ f_{i-1}\\ g_{i-1}\\ g_{i-2}\\ 1 \end{matrix} \right| \]

【记录】

P3389【高斯消元】

朴素写消元代码太难看， 把矩阵的初等变换写成函数会好看许多。

【记录】

P2455【高斯消元（判无解）】

相比模板增加了判无解的情况。

用高斯-约旦消元。

【记录】

P4783【矩阵求逆】

由于矩阵的初等变换可以表示成矩阵乘法的形式， 所以把一个矩阵用矩阵初等变换变成单位矩阵，就相当于给它乘上它的逆矩阵。

把这些变换无损施加到另一个单位矩阵上，就可以得到这个矩阵的逆矩阵。

【记录】

P4035

设中点为 \(p\)， 有某个在球面上的点 \(x\)， 球的半径为 \(R\)，那么：

\[(x_1-p_1)^2+(x_2-p_2)^2+\cdots+(x_n-p_n)^2 = R^2 \]

把 \((x_i-p_i)^2\) 拆开得到 \(x_i^2 + p_i^2 - 2x_ip_i\)。

由于有 \(n+1\) 个球面上的点， 所以上面那个等式也有 \(n+1\) 个， 把前 \(n\) 个等式都减去第 \(n+1\) 个等式， 就得到：

\[\sum_{i=1}^n (x_i^2+p_i^2-2x_ip_i)-(x_{n+1,i}^2+p_i^2-2x_{n+1,i}p_i) = 0\\ \sum_{i=1}^n2(x_{n+1,i}-x_i)p_i = \sum_{i=1}^n (x_{n+1,i}^2-x_i^2) \]

然后就可以高斯消元了。

光解方程还是推荐高斯-约旦消元。

【记录】