简单子集运算

【参考】

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对于集合 \(U = \{1,2,\cdots,n\}\)， 有下标系统 \(A = \{X\mid X\subseteq U\}\)，和定义在 \(A\) 上的函数：\(f:A\to \mathcal R\)。（\(\mathcal R\) 大概是某个很牛逼的代数系统，有交换律什么的，应该直接默认是实数域就行了）

本文讨论对于这个函数 \(f\) 的变换。

用状压模拟 \(f\) 的下标系统：

n = read();
for (int I = 0; I < (1 << n); ++ i) f[i] = read();

目录

• 子集和
• 子集和的逆变换
• 超集和
• 超集和逆变换
• 补集和

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子集和

\[\hat f(I) = \sum_{T\subseteq I} f(T) \]

求这个 \(\hat f\)。

从另一个角度看待 \(f\) 的状压表示， 二进制的每一位看成多维数组的一个维度的某个数，那么这个子集和就是个高维前缀和。

插入

高维前缀和的算法：

对于一个高维点 \((x_1,x_2,\cdots,x_n)\)， 其高维前缀和是对 \((y_1\le x_1,y_2\le x_2,\cdots,y_n\le x_n)\) 这些点值的求和。

将这些点值按照最后一维分类，将整个 n 维超立方体分成了 \(|\{k\mid k\le x_n\}|\) 个 n - 1 维的超立方体， 看上去就十分显然了。

代码

for (int i = 0; i < n; ++ i)
  for (int s = 0; s < (1 << n); ++ s)
    	if ((s >> i) & 1) f[s] += f[s ^ (1 << i)];

子集和的逆变换

就是给你 \(\hat f\)， 求 \(f\)。

有了前面的铺垫，这个东西就很简单了，就是对每一维从大到小扫过去差分，不过在这里一个维只有两个点值所以看起来就很简洁。

代码

for (int i = 0; i < n; ++ i)
  for (int s = 0; s < (1 << n); ++ i)
    if ((s >> i) & 1) f[s] -= f[s ^ (1 << i)];

超集和

\[f(I)\zeta = \sum_{I\subseteq T} f(T) \]

给 f 求 fζ。

就是把 1 看成 0， 0 看成 1 了而已， 在一般的有限高维下标系统里， 可以直接看成把偏序关系反过来做子集和。

代码

for (int i = 0; i < n; ++ i)
  for (int s = 0; s < (1 << n); ++ s)
    	if (! ((s >> i) & 1)) f[s] += f[s ^ (1 << i)];

超集和逆变换

不多说了，代码

for (int i = 0; i < n; ++ i)
  for (int s = 0; s < (1 << n); ++ s)
    	if (! ((s >> i) & 1)) f[s] -= f[s ^ (1 << i)];

补集和

这个东西是啥啊，原文没说我不知道。