小清新线段树

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• Luogu P3792 由乃与大母神原型
• NOI2016 区间
• HEOI2013 Segment
• Luogu P5607 Ynoi2013 无力回天 NOI2017
• ZJOI2010 基站选址

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Luogu P3792 由乃与大母神原型

增强版是 Luogu P5278。

对于这题， 一段区间 [l,r] 是值域上连续的一段等价于 max(l~r) - min(l~r) = r - l 且区间内没有相同的数。

关于区间内有没有相同的数， 有一个套路是维护这个数上一次出现的位置 pre， 若区间内的 pre 的 min 在左端点左边，那么区间内没有同样的数。

提交记录见此：【提交记录】

代码年代久远，比较丑。

NOI2016 区间

无解显然很好判断， 以下讨论有解：

首先从大到小枚举方案中区间长度的最大值 mx， 显然对于每个 mx 都有一个最大的 mi （此方案中区间长度的最小值）使得存在一个合法方案， 这个 mi 显然随 mx 减小而减小， 于是只要维护一个区间加查询区间最大值的线段树就好了。

多判点特殊情况可以写得很舒服。

【提交记录】

HEOI2013 Segment

李超线段树模板， 李超线段树的思路是当前区间只保留优势最大的线段， 代码很好理解。

【提交记录】

Luogu P5607 Ynoi2013 无力回天 NOI2017

考虑设 b_i = a_i xor a_i-1， 即异或意义下的差分。

那么就有异或意义下的前缀和，a_i = b₁ xor b₂ xor ... xor b_i。

类似地， 对于 a_[l,r] 中的某个数 a_k， 可以用 a_l xor b_l+1 xor b_l+2 xor ... xor a_k 来表示， a_[l,r] 不能表示的， a_l ∪ b_[l+1,r] 显然也不能表示（因为 a_l ∪ b_[l+1,r] 就是用 a_[l,r] 构成的）。

即， a_l ∪ b_[l+1,r] 和 a_[l,r] 的表示能力相同（本质相同）。

那么就可以修改的时候双点修改， 查询的时候区间合并+一次插入。

【提交记录】

ZJOI2010 基站选址

设 f(i,j) 表示假设只有前 i 个村庄，在第 i 个村庄建第 j 个基站， 最小的费用。

\[f(i,j) = \min_{j-1\le k<i} \{f(k,j-1) + cost(k,i)\} \]

cost(k,i) 的意义比较显然。

考虑外层从小到大枚举 j， 内层从小到大枚举 i， 拆分转移式子并用数据结构维护（拆 cost， cost(k,i) 拆成 [k+1,i-1] 的补偿（cost1）和在 i 建造的建造费（cost2）， 显然只需要维护 f + cost1 作为转移到后面的转移值）。

对于一个村庄 i， 可以简单地计算出能覆盖其的左右边界 [l_i,r_i]， 其中 l_i,r_i 均为村庄的标号。

考虑 f(i) 转移到 f(k)（i<k）， [i+1,k-1] 中有些村庄需要补偿， 有些不需要， 条件是：对于村庄 i， 若 k > r_i， 则对于所有 i < l_i， 转移的时候都要对村庄 i 进行补偿。

于是在考虑完 r_i 这个村庄的时候，对 [1,l_i-1] 的转移值都加上村庄 i 的补偿就好了。

只需要区间加区间求最小值的线段树。

总复杂度 \(O(kn\log n)\) 就可以过了。

【提交记录】