Fibonacci数列通项公式

通常方法

F[0]=0, F[1]=1, F[n]=F[n-1]+F[n-2] (n>1)

改写为简单的形式：F[n] = F[n-1] + F[n-2] + [n=1]

采用机械方法得到封闭形式：

\[\begin{align} \sum_nF[n]x^n &= \sum_nF[n-1]x^n + \sum_nF[n-2]x^n + \sum_n[n=1]x^n\\ F(x) &= xF(x) + x^2F(x) + x\\ F(x) &= \frac x{1-x-x^2} \end{align} \]

考虑将其写成若干个 \(\dfrac1{1-cx^k}\) 的和， 为此将分母因式分解：

解 \(1-x-x^2 = 0\) 得 \(x_1 = -\dfrac{1 + \sqrt5}{2}\)，\(x_2 = -\dfrac{1-\sqrt5}2\)。

于是有 \(F(x) = \dfrac x{(x-x_1)(x-x_2)}\)。

考虑 \(\dfrac1{x-x_1}-\dfrac1{x-x_2} = \dfrac{x_2-x_1}{(x-x_1)(x-x_2)}\)，则 \(F(x) = \dfrac{x}{x_2-x_1}\left(\dfrac1{x-x_1}-\dfrac1{x-x_2}\right)\)。

考虑调整：\(F(x) = \dfrac{x}{x_2-x_1}\left(\dfrac1{x_2}\dfrac1{1-x/x_2}-\dfrac1{x_1}\dfrac1{1-x/x_1}\right)\)

可以比较轻松地看出 \([x^n]F(x)\)， 具体地：

\[\begin{align} [x^n]F(x) &= [x^n]\frac1{x_2-x_1}\frac1{x_2}\frac x{1-x/x_2} - [x^n]\frac1{x_2-x_1}\frac1{x_1}\frac x{1-x/x_1}\\ &= [x^n]\frac1{x_2-x_1}\frac1{x_2}\sum_n \frac{x^{n+1}}{x_2^n} - [x^n]\frac1{x_2-x_1}\frac1{x_1}\sum_n \frac{x^{n+1}}{x_1^n}\\ &= \frac1{x_2-x_1}\left(\frac1{x_2^n}-\frac1{x_1^n}\right) \end{align} \]

整理后就得到：

\[F[n] = \frac{\sqrt5}5\left[\left(\frac{1+\sqrt5}2\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt5}2\right)^n\right] \]

---

特征根法

特征方程： 特征方程可以用于求解线性递推数列的通项公式，其步骤是：将数列假设为一个等比数列并求出特征根， 再代入初始数列的值求出特征根的系数， 从而得到通项公式。

设 \(\sf F_n = \lambda^n\)， 就有：\(\sf\lambda^n = \lambda^{n-1} + \lambda^{n-2}\)。

令 n=2， 就有：\(\sf\lambda^2 = \lambda+1\)， 解方程得到：

\[\sf\lambda_1 = \frac{1+\sqrt 5}2,\sf\lambda_2 = \frac{1-\sqrt 5}2 \]

根据特征根法的结论， 数列的通项公式可以表示为：\(\sf F_n = p\lambda_1^n + q\lambda_2^n\)。

把 n=0,n=1 分别代入得到：

\[\begin{cases} \sf p\lambda_1 + q\lambda_2 = 1\\ \sf p + q = 0 \end{cases} \]

解得：\(\begin{cases}\sf p=\dfrac1{\sqrt5}\\\sf q=-\dfrac1{\sqrt5}\end{cases}\)

那么就可以得到通项公式了。