多项式 Taylor 展开
泰勒公式是高等数学中的一个非常重要的内容，它将一些复杂的函数逼近近似地表示为简单的多项式函数，泰勒公式这种化繁为简的功能，使得它成为分析和研究许多数学问题的有力工具 [3] 。
--- baidu baike
多项式复合函数
G(f)， f 是多项式。
多项式复合函数的导数是对 f 求导。
即， f = a0 + a1x + ...， A(x) = b0 + b1x + ..., G(f) = f2 + A(x)， 那么 G(f) 对 f 求导得到 G'(f) = 2f， A(x)
不会随着 f 改变而改变， 所以算是常数项， 别忘了现在是在对 f 求导。
多项式泰勒展开
对于多项式复合函数 G(f)， 若已知其在 f0 处的取值 G(f0)， 那么其在任意 f 处的取值 G(f) 则可如此表示：
\[\begin{align}
G(f) &= \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{G^{(n)}(f_0)}{n!}(f - f_0)^n\\
&= G(f_0) + \frac{G'(f_0)}{1!}(f-f_0) + \frac{G''(f_0)}{2!}(f-f_0)+\cdots
\end{align}
\]
当然， 这里的 n 阶导数是对 f 求导的。
Newton's Method
多项式方程的解
给定多项式复合函数 G(x)， 求多项式 F(x) mod xn 使得 G(F(x)) ≡ 0 ( mod xn)
考虑倍增法， 已知 \(G(f'(x)) \equiv 0 \mod x^{n/2}\)， 考虑拓展到 \(G(f(x))\equiv 0 \mod x^n\)， 泰勒展开一下有：
\[\begin{align}
G(f(x)) &= G(f_0(x))\\
&+\frac{G'(f_0(x))}{1!}(f(x)-f_0(x))\\
&+\frac{G''(f_0(x))}{2!}(f(x)-f_0(x))^2\\
&+\cdots
\end{align}
\]
然而由于
\[f(x) - f_0(x) \equiv 0 \mod x^{n/2}\\
(f(x) - f_0(x))^2 \equiv 0 \mod x^n
\]
那么就可以很 nice 地得出：
\[\begin{align}
G(f(x)) &\equiv G(f_0(x)) + G'(f_0(x))(f(x) - f_0(x)) &\mod x^n\\
0 &\equiv G(f_0(x)) + G'(f_0(x))(f(x) - f_0(x)) &\mod x^n\\
f(x)G'(f_0(x)) &\equiv f_0(x)G'(f_0(x)) - G(f_0(x)) &\mod x^n\\
f(x) &\equiv f_0(x) - \frac{G(f_0(x))}{G'(f_0(x))} &\mod x^n
\end{align}
\]
例子：多项式求逆
给定 A(x)， 要求 B(x) 满足 A(x)B(x) ≡ 1 mod xn。
\(A(x)B(x)\equiv 1\)， \(\dfrac1{B(x)} - A(x) \equiv 0\)， 是个多项式方程， \(G(f) = \dfrac 1f - A(x)\)， \(G'(f) = -f^{-2} = -\dfrac 1{f^2}\)。
代入牛顿迭代式：
\[\begin{align}
f(x) &\equiv f_0(x) - \dfrac{\dfrac1{f_0(x)} - A(x)}{-\dfrac 1{f_0(x)^2}}\\
&\equiv f_0(x) + f_0(x) - f_0(x)^2A(x)\\
&\equiv f_0(x)(2 - f_0(x)A(x))
\end{align}
\]
例子：多项式 exp
给定 A(x)， 要求 B(x) 满足 B(x) ≡ eA(x) mod xn。
首先两边取 ln， \(\ln B(x) - A(x) \equiv 0\)， 是个多项式方程，\(G(f) = \ln f - A(x)\)， \(G'(f) = \dfrac 1{f}\)。
代入牛顿迭代式：
\[\begin{align}
f(x) &\equiv f_0(x) + \dfrac{\ln f_0(x) - A(x)}{\dfrac1{f_0(x)}}\\
&\equiv f_0(x)(1 + \ln f_0(x) - A(x))
\end{align}
\]
