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基本的普通生成函数

aF(z)+bG(z)=n(afn+bgn)znzmG(z)=ngnmzn,m0G(z)g0g1zgm1zm1zm=ngn+mzn,m0G(cz)=ncngnznG(z)=n(n+1)gn+1znzG(z)=nngnznz0G(t)dt=n11ngn1znF(z)G(z)=n(kfngnk)zn11zG(z)=n(kngk)zn


以上是处理生成函数的基本方法。

以下是常用的生成函数。


\begin{array}{|l|l|} \hline 生成函数 & 封闭形式 \\ \hline \sum_{n\ge 0} [n=0]z^n & 1 \\ \sum_{n\ge 0}[n=m]z^n & z^m \\ \sum_{n \ge 0} z^n & \frac 1{1-z} \\ \sum_{n\ge 0}(-1)^nz^n & \frac 1{1+z} \\ \sum_{n\ge 0}[2\mid n]z^n & \frac 1{1-z^2} \\ \sum_{n\ge 0}[m\mid n]z^n & \frac 1{1-z^m} \\ \sum_{n\ge 0}(n+1)z^n & \frac 1{(1-z)^2} \\ \sum_{n\ge 0}2^nz^n & \frac 1{1-2z} \\ \sum_{n\ge 0}\binom 4n z^n & (1+z)^4 \\ \sum_{n\ge 0}\binom cn z^n & (1+z)^c \\ \sum_{n\ge 0}\binom {c+n-1}{n} z^n & \frac 1{(1-z)^c} \\ \sum_{n\ge 0}c^nz^n & \frac 1{1-cz} \\ \sum_{n\ge 0}\binom{m+n}mz^n & \frac 1{(1-z)^{m+1}} \\ \sum_{n\ge 1}\frac 1n z^n & \ln \frac 1{1-z} \\ \sum_{n\ge 1}\frac{(-1)^{n+1}}nz^n & \ln (1+z) \\ \sum_{n\ge 0}\frac 1{n!}z^n & \exp z \\ \hline \end{array}


G(z)+G(-z) = \sum_ng_n(1+(-1)^n)z^n = 2\sum_n[n 是偶数]g_nz^n

类似地,也可以只取奇数, 这对任意生成函数都可以使用。

posted @   xwmwr  阅读(227)  评论(0编辑  收藏  举报
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