基本的普通生成函数
aF(z)+bG(z)=∑n(afn+bgn)znzmG(z)=∑ngn−mzn,m≥0G(z)−g0−g1z−⋯−gm−1zm−1zm=∑ngn+mzn,m≥0G(cz)=∑ncngnznG′(z)=∑n(n+1)gn+1znzG′(z)=∑nngnzn∫z0G(t)dt=∑n≥11ngn−1znF(z)G(z)=∑n(∑kfngn−k)zn11−zG(z)=∑n(∑k≤ngk)zn
以上是处理生成函数的基本方法。
以下是常用的生成函数。
\begin{array}{|l|l|}
\hline
生成函数 & 封闭形式
\\
\hline
\sum_{n\ge 0} [n=0]z^n & 1
\\
\sum_{n\ge 0}[n=m]z^n & z^m
\\
\sum_{n \ge 0} z^n & \frac 1{1-z}
\\
\sum_{n\ge 0}(-1)^nz^n & \frac 1{1+z}
\\
\sum_{n\ge 0}[2\mid n]z^n & \frac 1{1-z^2}
\\
\sum_{n\ge 0}[m\mid n]z^n & \frac 1{1-z^m}
\\
\sum_{n\ge 0}(n+1)z^n & \frac 1{(1-z)^2}
\\
\sum_{n\ge 0}2^nz^n & \frac 1{1-2z}
\\
\sum_{n\ge 0}\binom 4n z^n & (1+z)^4
\\
\sum_{n\ge 0}\binom cn z^n & (1+z)^c
\\
\sum_{n\ge 0}\binom {c+n-1}{n} z^n & \frac 1{(1-z)^c}
\\
\sum_{n\ge 0}c^nz^n & \frac 1{1-cz}
\\
\sum_{n\ge 0}\binom{m+n}mz^n & \frac 1{(1-z)^{m+1}}
\\
\sum_{n\ge 1}\frac 1n z^n & \ln \frac 1{1-z}
\\
\sum_{n\ge 1}\frac{(-1)^{n+1}}nz^n & \ln (1+z)
\\
\sum_{n\ge 0}\frac 1{n!}z^n & \exp z
\\
\hline
\end{array}
G(z)+G(-z) = \sum_ng_n(1+(-1)^n)z^n = 2\sum_n[n 是偶数]g_nz^n
类似地,也可以只取奇数, 这对任意生成函数都可以使用。
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