拉格朗日插值
满足 ak≠0ak≠0 的 多项式 A(x)=∑ki=0aixiA(x)=∑ki=0aixi 是 k 次多项式, 多项式的次数即其系数不为 0 的最高次幂的次数。
至少 k+1 个点可以唯一确定一个 k 次多项式
给定 k+1 个点 (xi,yi)(xi,yi) 和数 X, 要求求出 f(X), f 要求满足:
f(x1)=y1f(x1)=y1⋮f(xk+1)=yk+1
这个 f 可以构造出来, 构造的方法和用于解决模数互质的同余方程的 CRT 算法很像, 即,
f(x)=k+1∑i=0yiIi(x)
其中 Ii 满足 Ii(xi) = 1 且对于 j≠i, Ii(xj) = 0.
具体地, Ii(x)=∏j≠ix−xjxi−xj
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