拉格朗日插值
满足 \(a^k\neq 0\) 的 多项式 \(A(x) = \sum_{i=0}^k a_ix^i\) 是 k 次多项式， 多项式的次数即其系数不为 0 的最高次幂的次数。
至少 k+1 个点可以唯一确定一个 k 次多项式
给定 k+1 个点 \((x_i,y_i)\) 和数 X， 要求求出 f(X)， f 要求满足：
\[f(x_1) = y_1
\\
f(x_1) = y_1
\\
\vdots
\\
f(x_{k+1}) = y_{k+1}
\]
这个 f 可以构造出来， 构造的方法和用于解决模数互质的同余方程的 CRT 算法很像， 即，
\[f(x) = \sum_{i=0}^{k+1} y_i I_i(x)
\]
其中 Ii 满足 Ii(xi) = 1 且对于 j≠i， Ii(xj) = 0.
具体地， \(I_i(x) = \prod_{j\neq i} \frac{x-x_j}{x_i-x_j}\)
