最短路解差分约束得到的解的性质（未补完）
引入
如题。
首先，建一个超级源点 0 并向所有点连权值为 0 的边是为了求一组非正数的可行解， 因为这些边所代表的约数即为 \(x_i\le 0\)， 然后依据 \(\{x_1,\cdots,x_n\}\) 可行则 \(\{x_1+\Delta,\cdots,x_n+\Delta\}\) 可行的定理就可以构造出别的可行解。
至于为什么求出的是可行解： 第一轮更新后所有 \(x_i\) 都变成了 \(0\)， 则超级源点代表的约束全部被满足。
通过算法导论的习题可以了解到， 这样求出的解，满足 \(\sum\limits_i x_i\) 最大， 同时满足 \(max\{x_i\}-min\{x_i\}\) 最小， 即和最大同时极差最小。
和最大的证明
首先，第一轮更新后， \(x_i\le 0\) 的约束已经被满足， 且此时是最大的。
之后对于每个形如 \(x_i\le x_j + w(j,i)\) 的约束， 在最短路更新时如果不满足， 则 \(x_i\) 会被赋值成 \(x_j + w(j,i)\)， 而这显然是最大的满足条件的解。
总的来说， 最短路算法通过减小 \(x_i\) 的值使得被满足的约束越来越多（首先明确被满足的约束的数量是一定不会在最短路的过程中变少的）， 在此基础上使得 \(x_i\) 减小的值尽量小
极差最小的证明
不会，死了
怎么让和最小
改成让 \(-\left(\sum\limits_{i}x_i\right)\) 最大， 这就要求对原先的约束变形，具体地：\(x_i\le x_j + w(j,i)\) 变成 \(-x_i \ge -x_j - w(j,i)\) ，若令 \(y_i = -x_i\)， 则原式子即为 \(y_i \ge y_j - w(j,i)\)， 在变形一次即得 \(y_j \le y_i-w(j,i)\)。
于是， 和最小就是把约束反着连边， 然后最后把求得的解变为相反数即可。
怎么让极差最大
不会，死了。
不过也不像是有这种东西。
