最基本的卷积与反演
大部分抄了 这篇
对其叙述上的不精确做了一定修正。
\((F*G)\) 表示迪利克雷卷积，\([F*G]\) 表示多项式卷积。
迪利克雷卷积：
\[(F*G)(n) = \sum_{ij=n} F(i)G(j)
\]
多项式卷积：
\[[F*G](n) = \sum_{i+j=n}F(i)G(j)
\]
多项式卷积及其反演
交换律， \([f*g]=[g*f]\)
结合律，\([f*g]*h = f*[g*h]\)
存在单位元， 即有 \(e\) 使得 \(e*f=f\)， 显然， \(e = [n=0]\)。
存在逆元，即有 \(f^{-1}\) 使得 \(f^{-1}*f = e\)
一般反演
对于数列 \(f\)、\(g\)， 如果它们可以写成如下的形式：
\[g_n = \sum_{i=0}^n a_{n-i}f_i \\
f_n = \sum_{i=0}^n b_{n-i}g_i
\]
那么称这两个序列是互反的， 即 \(g = [a*f]\)， \(f = [b*g]\)。
显然， \(f = [b*g] = [b*a*f]\)， 即 \([b*a] = e\)。
二项式反演与矩阵
二项式反演是一般反演的加强版：
\[g_n = \sum_{i=0}^n a_{n,i}f_i\\
f_n = \sum_{i=0}^n b_{n,i}g_i
\]
这里 \(a\)、\(b\) 就可以看成矩阵， 上面的式子就可以看成矩阵乘法：
\[\begin{align}
\begin{bmatrix}
g_0\\
g_1\\
g_2\\
\end{bmatrix} &=
\begin{bmatrix}
a_{00} & 0 & 0\\
a_{10} & a_{11} & 0\\
a_{20} & a_{21} & a_{22}\\
\end{bmatrix} \times
\begin{bmatrix}
f_0\\
f_1\\
f_2\\
\end{bmatrix}\\
\begin{bmatrix}
f_0\\
f_1\\
f_2\\
\end{bmatrix} &=
\begin{bmatrix}
b_{00} & 0 & 0\\
b_{10} & b_{11} & 0\\
b_{20} & b_{21} & b_{22}\\
\end{bmatrix} \times
\begin{bmatrix}
g_0\\
g_1\\
g_2\\
\end{bmatrix}\\
\end{align}
\]
推导下矩阵 \(A\)、\(B\) 的关系：
\[\begin{align}
\vec{F} &= A\times \vec{G}\\
\vec{G} &= B\times \vec{F}\\
\Rightarrow \vec{F} = A\times \vec{G} &= A\times B\times\vec{F} \\
A\times B &= E
\end{align}
\]
满足这样关系的典型的 \(a,b\) 其一：
\[g_n = \sum_{i=0}^n\binom{n}{n-i}f_i\\
f_n = \sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom{n}{n-i}g_i
\]
其二：
\[g_n = \sum_{i=0}^n(-1)^i\binom{n}{i}f_i\\
f_n = \sum_{i=0}^n(-1)^i\binom{n}{i}g_i
\]
迪利克雷卷积及其反演
交换律、结合律、单位元 \(e=[n=1]\)， 对于函数 \(f\neq 0\)， 总有逆元， 且逆元唯一。
莫比乌斯反演即：
\[f = (1*g) \quad \Rightarrow \quad g = (\mu*f)
\]
构造 \(\mu\)：
\[(\mu*1)(n) = \sum_{d\mid n} \mu(d) = [n=1]
\]
\((1*\mu)(1)=[1=1]=1\)， 即 \(\mu(1)=1\)。
\((1*\mu)(p) = \mu(1)+\mu(p) = [p=1]=0\)，即 \(\mu(p)=-1\)
那么由于 \((1*\mu)(p^k) = 0\)， \(\mu(p^k)=0\) 就是显然的了。
由于 \(\mu\) 是积性函数（由积性函数的逆也是积性函数），
\[\mu(n) = \begin{cases}
1, \quad n=1 \\
(-1)^k, \quad n=p_1p_2\cdots p_k \\
0, \quad n的质因子有平方因子
\end{cases}
\]
验算下：
\[(\mu*1)(n) = \sum_{d\mid n} \mu(d) = \mu(1) + \mu(p_1) + \cdots + \mu(p_1p_2)+\cdots+\mu(p_1p_2\cdots p_k)\\
= \sum_{i=0}^k \binom{k}{i}(-1)^i\\
= [k=0] \\
= [n=1]
\]
