简单的单调栈算法
基本算法
简介
单调栈是一种算法， 它可以用一次扫描 \(O(n)\) 时间求出序列中每个数向左和向右的第一个大于它的数， 也可以用一次扫描 \(O(n)\) 时间求出序列中每个数向左和向右的第一个小于它的数。
以大于为例：
用单调栈求左边第一个大于的数：
有数列\(\big<a\big>\)。
对于一个数 \(a_i\) 前面的两个数 \(a_p,a_q, \quad p<q<i\)， 若 \(a_p<a_q\)， 则对于所有 \(j\ge i\)， \(a_p\) 都不可能成为 \(a_j\) 的答案。
单调栈就是对于每个数维护可能成为其答案的下标集合， 然后从里面快速选出答案。
具体地， 算法流程是：
一、 从左到右扫描数列， 开一个空栈 \(stk\)， 栈顶为 \(stk[tp]\)
二、对于每个数 \(a_i\)，
-
在栈不为空且 \(stk[tp] \le a_i\) 的时候使栈不断 \(pop\)
-
停止 \(pop\) 后， 若栈不为空， \(stk[tp]\) 就是 \(a_i\) 左边第一个大于其的数， 否则 \(a_i\) 左边没有大于其的数。
-
将 \(a_i\) 加入到栈顶
从以上算法可以看出， 每个数 \(a_i\) 都是会被加入栈里的， 那么在以后的扫描过程中， 让 \(a_i\) 从栈中弹出的那个数一定就是 \(a_i\) 右边第一个大于其的数， 若自始至终 \(a_i\) 没有被弹出， 则 \(a_i\) 右边没有大于其的数。
至此， 可以用单调栈一次扫描求出每个数左边和右边第一个大于其的数， 对于小于， 只需简单地魔改一下算法就可以了， 用到的理论也是高度类似的
对于基本算法的正确性的证明
需要证明的仅仅是求左边第一个大于的数的正确性， 懂的都懂。
那么对于每个数 \(a_i\)， 在 算法流程 扫描到 \(a_i\)， 执行到 二-2 的时候， 为什么能直接确定答案？
首先可以确定栈中没有不可能成为 当前数的答案 的数 (当然也没有不可能成为以后数的答案的数)， 此时选栈顶， 即最靠近当前数的数， 就是答案。
为什么可以确定这个事实? 可以用归纳法证明， 在这里就不证了， 仅给出参考思路：
假设扫描到 \(a_i\),
- 用归纳法证明到步骤 二-1 之前，栈中没有不可能成为 \(a_i\) 答案的数， 所有可能成为 \(a_i\) 答案的数都在栈中。
- 用归纳法证明到步骤 二-1 之前，从栈底到栈顶是一个单调递减的数列， 这就可以证明执行完步骤 二-1 之后栈顶就是答案
更深一点的应用
可以用归纳法证明， 对于数列 \(\big<a\big>\)， 在使用基本算法求每个数的左边的第一个大于其的数时， 对于当前扫描的数 \(a_i\)， 单调栈实际上是维护的数列 \(\big<a\big>_{1\cdots i}\) 的后缀最大值（从栈顶到栈底， 就是 \(max(a[i\cdots i])、max(a[i-1\cdots i])、\cdots、max(a[1\cdots i])\) 去重后的结果）。
于是在单调栈的过程中， 可以见到整个数列所有子串的最大值， 至于有多少应用嘛……不知道。
应用
1
求 \(\sum_{l=1}^n\sum_{r=l}^n max(a_{l\cdots r})\)。
根据上面的 更深一点的应用 单调栈 \(O(n)\) 搞， 很不错。
还可以枚举所有 \(a_i\)， 算出 max 是 \(a_i\) 的区间有多少个， 这个也可以用单调栈求出来。
1的升级版
\(f(X,Y) = \sum_{l=X}^Y\sum_{r=l}^Y max(a_{l\cdots r})\)
\(Q\) 次询问不同的 \(f(X,Y)\)
要求 \(O((n+Q)\log n)\)。
似乎不太可做， 待补。
2
给定数列 \(a\) ， 求 \(max\{a[L\cdots R]\}*(a_R-a_L)\) 的最大值。
枚举 \(max\{a[L\cdots R]\}\)， 再讨论一下， 就做完了。（用 st表 可以做到 \(O(n\log n)\)）
如果把 \(a_R-a_L\) 换成 \(R-L+1\)， 可以做到 \(O(n)\)。
3
给定数列 \(a\)， 求有几对 \((x,y)\) 满足：
\(max(a[x+1\cdots y-1]) \le min(a[x],a[y])\)。
顺便可以求出具体方案。
单调栈求左边第一个大于的数的过程中， 被一个数弹掉的所有数以及此数的答案， 就是所有可以使这个数作为 \(y\) 的 \(x\)。
这样的对数是 \(O(n)\) 的。
顺便如果把题目中式子的小于等于号改成小于号， 此算法也能胜任， 而且针对小于号还有一种其它的算法：
所有 \((x,y)\) 都是某一个数的 \((左边第一个大于的，右边第一个大于的)\)。
4
给定矩阵， 求 面积 最大的和 \(>0\) 的子矩阵。
首先枚举上下边界压缩一维（就像求最大子矩阵和一样）。
然后问题就变成了在一个数列中， 对于每个数求出最左边的小于其的数。
当然这并不是单调栈， 但是比较像单调栈。（其实是维护了前缀最小值）
总复杂度 \(O(n^3\log n)\)
