同余系下的简单理论和算法

目录

• 整除式
• 同余恒等式
  • 基本性质
    • 同加同减
    • 同乘
  • 与整除式的联系
    • 基本
    • 恒等式合并（拆分）
    • 消去（同除）
• 剩余系
  • 膜法剩余系
  • 简化剩余系
• 逆元
  • 基本概念和线性同余方程解法
  • 欧拉定理解法

抽代赛高。

整除式

首先同余的一个理论基石就是整除式

\(a\mid b\) 表示 \(a\) 整除 \(b\) 。

有几个性质：

\[(a,b)=1, a\mid bc \Rightarrow a\mid c \\ a\mid b,a\mid c \Rightarrow a\mid gcd(b,c) \\ \]

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同余恒等式

类比普通的实数恒等式 \(a = b\)， 同余恒等式也有一些可操作的性质。

这些性质给出了处理同余恒等式的一些方法。

基本性质

同加同减

显然地， 有

\[a\equiv b(\mod m) \Leftarrow\Rightarrow a+c \equiv b+c (\mod m) \]

挺容易验证的。

同乘

同样显然地，有

\[a\equiv b(\mod m)\Leftarrow\Rightarrow ac \equiv bc(\mod m) \]

与整除式的联系

基本

刚才说了整除式是同余理论的一个基石就是因为以下一个等价式：

\[a\equiv b(\mod m) \Leftarrow\Rightarrow a-b \equiv0(\mod m) \Leftarrow\Rightarrow m\mid(a-b) \]

可以用这个推一些同余恒等式的性质。

恒等式合并（拆分）

\[a \equiv b(\mod m), a\equiv b(\mod n) \Rightarrow m\mid(a-b), n\mid (a-b) \Rightarrow lcm(m,n)\mid(a-b) \]

就得到了

\[a \equiv b(\mod lcm[n,m]) \]

消去（同除）

\[ka\equiv kb(\mod m) \Leftarrow\Rightarrow m\mid k(a-b) \Leftarrow\Rightarrow \dfrac{m}{gcd(m,k)}\Bigg|\dfrac{k}{gcd(m,k)}(a-b) \]

就得到了 \(\dfrac{m}{gcd(m,k)}\Bigg|(a-b) \Leftarrow\Rightarrow a \equiv b (\mod \dfrac{m}{gcd(m,k)})\) （消去 \(\dfrac{k}{gcd(m,k)}\) 是因为 \(gcd(\dfrac{m}{gcd(m,k)},\dfrac{k}{gcd(m,k)})=1\)）， 常用的特殊形式就是 \(k\) 和 \(m\) 互质的时候直接消去 \(k\) 而恒等式的其他部分不做任何变化。

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剩余系

膜法剩余系

对于一个数 \(m\)， 称膜 \(m\) 的剩余系是 \(\{0,1,2,\cdots,m-1\}\) 。

简化剩余系

对于一个数 \(m\)， 称膜 \(m\) 的简化剩余系是 \(\{x\mid x在 m的膜法剩余系中且 gcd(x,m)=1\}\)

逆元

基本概念和线性同余方程解法

逆元就是 inv， inv 就是逆元。

对于一个二元运算， 恒等元（幺元）就是任何元素 \(x\) 和它运算的结果都是这个原来这个元素 \(x\) 的元素。

一个元素运算上它的逆元等于幺元， 很显然一个数的逆元是唯一的。

对于膜 \(m\) 剩余系里的数， 一个数 \(x\) 的逆元就是元素 \(y\) 使得 \(x*y\equiv 1(\mod m)\)。

然而数 \(x\) 并不一定存在逆元。

对于膜 \(m\) 剩余系里的元素， 只有它同时在膜 \(m\) 的简化剩余系的时候， 它才有逆元。

可以用裴蜀定理来证明， 这是因为：

\[ax\equiv b(\mod m) \Leftarrow\Rightarrow ax+my = b \]

欧拉定理解法

在 \(gcd(a,m)=1\) 的情况下，有：

\[a^{\varphi(m)} \equiv 1(\mod m) \]

也就是 \(a^{\varphi(m)-1} = inv(a) \mod m\) ， 当 \(m\) 为素数时 \(\varphi(m)=m-1\) 。

证明： 记 \(m\) 的简化剩余系为 \(\sf\{t_1,t_2,\cdots,t_{\varphi(m)}\}\) ， 显然对于一个与 \(m\) 互质的数 \(a\)， \(\sf\{t_1,t_2,\cdots,t_{\varphi(m)}\} = \{a*t_1,a*t_2,\cdots,a*t_{\varphi(m)}\}\) ， 这是因为 \(a*t_i \equiv a*t_j (\mod m) \Leftarrow\Rightarrow a_i \equiv a_j(\mod m)\)（还记得同余恒等式的“消去”吗？）， 与集合的不可重复性矛盾。

这就得出了：

\[t_1*t_2*\cdots*t_{\varphi(m)} \equiv a^{\varphi(m)} * t_1*t_2*\cdots*t_{\varphi(m)} (\mod m) \]

由于膜 \(m\) 简化剩余系里的数与 \(m\) 都互质， 所以可以消去， 最终得到：

\[a^{\varphi(m)} \equiv 1 (\mod m) \tag{gcd(a,m)=1} \]