简单公约数算法

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• E·M·T
• exgcd
• 类欧

E·M·T

定义 \(gcd(a,b)\) 为整数 \(a、b\) 的最大公约数。

首先是一些琐碎的性质：

1. 对于两个数 \(p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}、p_1^{b_1}p_2^{b_2}\cdots p_k^{b_k}\) 来说， \(gcd(p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k},p_1^{b_1}p_2^{b_2}\cdots p_k^{b_k}) = p_1^{min(a_1,b_1)}p_2^{min(a_2,b_2)}\cdots p_k^{min(a_k,b_k)}\) ， \(lcm\) 的话类似， 只是 \(min\) 改成了 \(max\)。

2. \(gcd(a,b)=1 \Rightarrow gcd(a,bc)=gcd(a,c)\) 对着上面的那条性质很好理解。

3. \(gcd(a,b) = gcd(a-b,b)\) ， 这个是欧几里得算法的基础； \(gcd(a,n) = gcd(a+n,n)\) ，这是分号左边那条的推论， 它说明了 \(gcd_n(x) = gcd(n,x)\) 这个函数是周期性的。

4. \(gcd(\dfrac{a}{gcd(a,b)}, \dfrac{b}{gcd(a,b)}) = 1\)， 结合第一条很好理解。

总之结合第一条都很好证， 因为第一条基本包含了 \(gcd\) 函数的全部信息。

exgcd

首先有个叫Bezout定理的， 意思是 \(ax+by=gcd(a,b)\) 必定有解， 其中 \(a、b\) 是给定的常数而 \(x、y\) 是变量。（不会证）

exgcd 就是求解这个方程的算法：

首先有 \(a\mod b = a - b\lfloor \dfrac ab \rfloor\)， 其次由于 \(gcd(a,b) = gcd(b,a\mod b)\)， 那么如果求出 \(\sf y'b +x'(a\mod b) = gcd(a,b)\) 的解， 就有： \(\sf y'b +x'(a\mod b) = y'b +x'(a-b\lfloor \dfrac ab \rfloor) = (y'- x'\lfloor \dfrac ab \rfloor)b + x'a\) ， 这就是 \(ax+by=gcd(a,b)\) 的一个解。

注意这个解一定不是唯一的， 如果求出了一组解 \(\sf (x_0、y_0)\) 那么 \((x_0+k\dfrac{b}{gcd(a,b)}, y_0-k\dfrac{a}{gcd(a,b)})， \quad k\in\Bbb Z\) 就是通解， 通解是无限的， 要得到最小正整数解就直接随便求出一个 \(x_0\) 然后膜上 \(\dfrac{b}{gcd(a,b)}\) 搞成最小正整数就行了。

代码的话可以这样写：

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y,int &GCD) {//由于exgcd的算法过程与gcd有重叠， 所以为了方便可以顺便求 a、b的 GCD
    !b ? x=1,y=0,GCD=a : (exgcd(b,a%b,y,x,GCD), y-=x*(a/b));
}

要是不想压行可以这样写,：

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y,int &GCD) {
    if(b==0) {GCD=a; x=1; y=0; return; }
    exgcd(b, a%b, y, x, GCD);
    y -= x*(a/b);
}

个人觉得压行更利于查错， 虽然这种算法不应该出错。

类欧

最基本的模型： \(\sf sol(n,A,B,C) = \sum_{i=1}^n\lfloor \dfrac{Ai+B}{C}\rfloor\) 。

待补待补。

我得先读一下具体数学第三章再学这个算法。

明年不退役的话再说吧。