概率期望小记
前言·参考资料
这里介绍 OI 中常见的简化了的离散概率理论。
很多初学者觉得概率期望难， 大多数情况下并不是初学者智商上的锅， 是信息源质量奇差的锅， 当然本文就是那些傻逼信息源的其中之一……
参考资料：
《浅析信息学竞赛中概率论的基础与应用》胡渊鸣 （写得不好 ，相互独立的离散期望的乘积等于乘积的期望的证明有大的漏洞）
《具体数学》 正道的光， 我认为最好的教程
《算法竞赛进阶指南》主要习题来源
《算法竞赛入门经典 训练指南》主要习题来源
概率
定义
把一个随机实验的某种可能结果称为 样本点， 所有样本点构成的集合称为 样本空间， 通常记为 \(\Omega\) (\Omega) 。一个 随机事件 是样本空间的一个子集， 记所有随机事件的集合为 \(F\) 。
记概率测度 \(P : F \rightarrow \Bbb R\) ， 其需要满足以下三条公理：
1.对于任意事件 \(A\) ， 有 \(P(A) \ge 0\)
2.\(P(\Omega) = 1\)
3.对于事件 \(A\) 和 \(B\) ， 若 \(A \cap B = \emptyset\) ， 则 \(P(A\cup B) = P(A) + P(B)\)
条件概率
记事件 \(B\) 发生的前提下， 事件 \(A\) 发生的概率为 \(P(A\mid B)\) 。
\(P(A\cap B)，\)\(P(AB)\) ， \(P(A,B)\) 都表示事件 \(A\) 和事件 \(B\) 同时发生的概率。
全概率公式
如果 \(B_1 \cdots B_k\) 是对样本空间的一个划分， 那么
贝叶斯(Bayes)公式
由于 \(P(A\mid B)P(B) = P(AB) = P(B\mid A)P(A)\) ， 得到：
期望
随机变量
函数 \(X : \Omega \rightarrow \Bbb R\) 被称为一个随机变量。
随机变量的期望
对于一个随机变量 \(X\) ， 定义其期望为
对于 \(\{\omega\mid \omega\in \Omega, X(\omega)=x\}\) ， 可以记为 \(X=x\) 。
显然 \(E[X]\) 也可以表示为
\(X(\Omega)\) 是随机变量 \(X : \Omega \rightarrow \Bbb R\) 的值域。
\(\sum\limits_{\omega \in X=x} P(\omega)\) 可以写成 \(P(X=x)\) 。
随机变量的独立性和两个随机变量乘积的期望
对于两个随机变量 \(X_1\) 和 \(X_2\) ， 如果对于任意 \(x_1 \in X_1(\Omega)\) 和 \(x_2 \in X_2(\Omega)\) 都有 \(P(X_1=x_1, X_2=x_2) = P(X_1=x_1)P(X_2=x_2)\) ， 就称 \(X_1\) 和 \(X_2\) 相互独立。
对于两个随机变量 \(X_1\) 和 \(X_2\) ， 它们的积 \(X_1X_2\) 是一个随机变量 \(X_1X_2 : \Omega \rightarrow \Bbb R\) ， 满足 \((X_1X_2)(\omega) = X_1(\omega)X_2(\omega)\) 。
两个独立的随机变量的积的期望等于这两个随机变量期望的积， 证明如下：
期望的线性性
对于两个随机变量 \(X_1\) 和 \(X_2\) ， 它们的和是一个随机变量 \(X_1+X_2 : \Omega \rightarrow \Bbb R\) ， 满足 \((X_1+X_2)(\omega) = X_1(\omega) + X_2(\omega)\) 。
不管两个随机变量 \(X_1\) 和 \(X_2\) 是否独立， 总有：
证明如下：
全期望公式
不会证。也不知道是啥。
训练指南里给出的一个定义是：把所有情况不重不漏分成若干类， 每类计算期望， 然后按概率加权求和。似乎很显然， 以后再证。
题目
UVA11427 玩纸牌
每晚都玩纸牌， 单局游戏获胜的概率是 P， 每次游戏结束后， 计算获胜局数和总局数的比， 如果严格大于 P 就睡觉， 明晚继续玩。 每晚最多玩 n 局， 如果第 n 局结束后， 胜局比还是不超过 P， 就再也不玩纸牌了。计算玩纸牌次数的期望。
首先计算每晚再也不玩纸牌的概率 Q 。设 f(i,j) 表示前 i 局胜局比都不超过 P， 一共获胜 j 局的概率， 有：f(i,j) = f(i-1,j)(1-P) + f(i-1,j-1)P (当 j/i<=p时)， f(i,j) = 0 (其他情况)， 边界为 f(0,0)=1, f(0,1)=0。 则 Q = \(\sum_if(n,i)\) 。
设随机变量 X 为玩游戏的天数， 则：
UVA11762 得到 1
给出一个整数 N， 每次在不超过 N 的素数中随机选择一个 P， 如果 P | N， 则把 N 变成 N/P， 否则 N 不变。 问期望多少次把 N 变成 1？
设 f(i) 为当前数为 i 时期望多少次变成 1 。p(i) 为不超过 i 的素数有多少个， g(i) 为不超过 i 且是 i 的约数的素数有多少个。
