后缀自动机（暂时弃坑）
字符串 \(S\) 的后缀自动机（SAM）是可以接受 \(S\) 的所有后缀的 DFA， 其状态数最少（最简状态自动机）。
串 \(S\) 的 SAM 的状态数与转移数都是 \(O(|S|)\) 的。
符号与表达约定
1. 对于 \(S = "wowaka"\)， \(S[1] = 'w'\)， \(S[2] = 'o'\)， 意即下标从一开始。
2. 用 \(SAM_S(\text{“string"})\) 表示 \(S\) 的 SAM 的 \(\delta(start, \text{“string")}\) ， 意即 \(“string"\) 终止于 \(SAM_S(\text{“string"})\)。
3. 分别用 \(Pre_S、Suf_S、Sub_S\) 表示字符串 \(S\) 的 所有前缀组成的集合、所有后缀组成的集合、所有子串组成的集合。
状态
显然地， 对于 \(subs \in Sub_S\)， \(SAM_S(subs) \neq NULL\)， 然而 \(S\) 的子串数是 \(O(|S|^2)\) 的， 这说明对于不同的 \(subs \in Sub_S\)， \(SAM_S(subs)\) 可能相同。
实际上， 对于 \(SAM_S\) 的每个状态， 都有一个唯一的 \(S\) 的 endpos等价类， 使得里面的所有字符串都终止于这个状态。
endpos集合
设 \(T\) 为一个非空字符串， 则 \(endpos^S(T) = \{r | \exists 1 \le l \le r, S[l\dots r] = T\}\)。
特别地， \(endpos^S(NULL) = \{0, 1, \cdots, |S|\}\)。[1]
endpos等价类
一个 endpos等价类 就是 \(endpos^S\) 相同的若干 \(S\) 的子串。
\(SAM_S\) 中包含了 \(S\) 的所有 endpos等价类。
对于一个状态 \(v\)， 用 \(endpos^S(v)\) 表示终止于 \(v\) 的 endpos等价类， 用 \(maxlen(v)\) 表示 \(max\{ |T| \; \big| \; endpos^S(T) = endpos^S(v) \}\)， \(minlen(v)\) 类似。
性质 1
任取 \(SAM_S\) 的两个不同状态 \(v_1, v_2\)， 则以下三式有且仅有一个成立：
（1） \(endpos^S(v_1) \cap endpos^S(v_1) = \varnothing\)
（2） \(endpos^S(v_1) \subset endpos^S(v_2)\)
（3） \(endpos^S(v_2) \subset endpos^S(v_1)\)
\(Proof.\)
显然啊， 看下 \(endpos^S(v_1) \cap endpos^S(v_1) \neq \varnothing\) 的情况就行了。
性质 2
对于 \(SAM_S\) 的状态 \(v\)， 所有满足 \(endpos^S(T) = endpos^S(v)\) 的字符串 \(T\) 的长度会取到 \([minlen(v), maxlen(v)]\) 里的所有整数。
\(Proof.\)
显然， 用 \(A \subseteq S, \; S \subseteq A \; \; \Rightarrow \; \; A = S\) 证就行。
转移
对于状态 \(v\)， 其所有出边上的字符 \(c\) 一定是 \(S[r+1], r \in endpos^S(v)\)（如果存在的话） ， 其所有后继状态 \(nxt\) 的 \(endpos^S(nxt)\) 互不相交。
状态的树形结构
对于两个状态 \(v_1, v_2 \in SAM_S\)， 称 \(v_1\) 为 \(v_2\) 的 parent 状态当且仅当 \(endpos^S(v_2) \subset endpos^S(v_1)\) 且 \(|endpos^S(v_1)|\) 最小。[2]
任何状态（除了起始状态）的 parent 状态存在且唯一。
\(Proof.\)
存在性显然。（有 \(endpos^S(NULL)\)）
唯一性嘛， 先假设有两个最小的， 由于都真包含一个状态， 所以交起来非空， 然而大小相等， 不可能有真包含的关系， 结合 状态 的性质1， 推出矛盾。
若状态 \(v\) 的 parent 状态为 \(v_1\)， 则 \(maxlen(v_1) + 1 = minlen(v)\)
\(Proof.\)
由于 \(endpos^S(v) \subset endpos^S(v_1)\)， 所以 \(maxlen(v_1) \in [minlen(v)-1, 0]\)， 然而 \(|endpos^S(v_1)|\) 是最小的， 所以 \(maxlen(v_1) = minlen(v)-1\)。[3]
状态数
\(SAM_S\) 的状态数是 \(O(|S|)\) 的， 具体地， 不超过 \(2|S| + 1\) 。
\(Proof.\)
在 parent 树中， 设 \(f(n)\) 表示 \(|endpos_S| = n\) 的状态的最大子树大小， 显而易见地， \(f(n) \ge 1 + f(x_1) + \cdots + f(x_k) \; \; \; (x_1 + \cdots + x_k = n, \; k \ge 2)\)。
然而这并没有什么卵用， 现在用数学归纳法证明 \(f(n) = 2n - 1\)：
1. \(n=1， f(n) = 1\)， 成立。
2. \(n \ge 2\), 相当于根节点 \(|endpos^S| = n-1\) 的情况下子树根的 \(endpos^S\) 里多了一个元素， 这个元素要么在某路径分叉， 使得整棵树多了一个节点， 要么直到叶子结点， 分两个叉， 使得整棵树多了两个节点， 此时 \(f(n) = f(n-1) + 2 = [2(n-1)-1] + 2 = 2n-1\)。
转移数
\(SAM_S\) 的转移数是 \(O(|S|)\) 的， 具体地， 不超过 \(3|S|\)
\(Proof.\)
首先， 以起始节点为根节点求出 \(SAM_S\) 的一颗外向树， 结合状态数上界可知树边数不超过 \(2|S|\)。
把 \(S\) 的每个后缀 \(sf\) 扔到 \(SAM_S\) 上转移， 对于经过的第一条非树边， 让 \(sf\) 与其对应， 每个 \(sf\) 最多对应一条非树边， 这就表明能被后缀对应的非树边最多有 \(|S|\) 条。
显然地， 每个非树边都是某个后缀的对应边（总是可以由起始状态通过树边到达非树边的发起状态）， 结合上面的结论， 可知非树边最多有 \(|S|\) 条。
线性构造
采用增量法构造， 即 \(SAM_{\alpha \beta \zeta \delta} \; \; \stackrel{某种nb方法}{\Rightarrow} \; \; SAM_{\alpha \beta \zeta \delta \Delta}\)。
