线性时间复杂度递推求 0 到 2的幂次-1 的二进制翻转

如何定义一个数的二进制翻转（后的数）？
也就是

\[reverse(\quad (\dots x_3x_2x_1x_0)_2 \quad) = \; ? \]

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直观地理解， 就是把一个数的二进制表示的最后一位和第一位交换、倒数第二位和第二位交换……
但是就如上面的例子， 知道了一个数二进制表示的最后一位， 那么这个数的二进制表示下的第一位是什么？不规定第一位， 翻转后的数是确定且唯一的吗？

显然平常求一个数的二进制翻转， 是要求一个具体的数。
要求具体的数， 就要规定一个数的 “二进制位数”， 意即这个数在二进制表示下的第一位是从右到左第几位。

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本文介绍的递推方法， 可以求二进制位数一定时的所有数的二进制翻转（显然有限的二进制位数只能表示有限个数， 即 \(x\) 位二进制只能表示 \([0, 2^x-1]\) 的 \(2^x\) 个数）。

（由于不是我想出来的所以只给方法啦qwq）

具体方法是将一个二进制数 \((x_n \dots x_0)_2\) 看作 \((x_n \dots x_1)_2\) 和 \((x_0)_2\)
首尾相接拼起来的两个数， 于是

\[reverse(\quad (x_n \dots x_0)_2 \quad) \]

\[= x_0 接上 \; reverse(\quad (x_n \dots x_1)_2 \quad) \]

（下面式子里的 \(reverse(\quad (x_n \dots x_1)_2 \quad)\) 是在二进制位数为 \(n\) 意义下的翻转）

但是递推到 \((x_n \dots x_0)_2\) 时， 手上只有 \((0\:x_n \dots x_1)_2\)
（\(即(x_n \dots x_1)_2\)在二进制位数为 \(n+1\) 意义下的表示）
的二进制翻转， 怎么办？

其实操作一番就是了， 具体看代码就好啦。

最后一点就是由于 \(x_0\) 是二进制位数为 \(n\) 意义下的最后一位， 所以其必定被翻转到二进制位数为 \(n\) 意义下的第一位（帮助理解代码）。

for(int i=0; i<lim; ++i) { // lim是二的幂次
//这段代码是求 0 ~ lim-1 在二进制位数为 log_2(lim)-1 意义下的二进制翻转
//其中， 数 i 的翻转被储存在 re[i] 里
	re[i] = (re[i>>1]>>1)|((i&1)?lim>>1:0);
}