Crash的数字表格 / JZPTAB 题解

提供两种（其实是一个式子）式子。

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第一种

\[\sum_{g=1}^{min(n,m)} g \sum_{d=1}^{min( \lfloor \frac{n}g \rfloor , \lfloor \frac{m}g \rfloor )} \mu(d) * d^2 \Bigg( \sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{dg} \rfloor} i \sum_{j=1}^{\lfloor \frac{m}{dg} \rfloor} j \Bigg) \]

第二种

\[\sum_{T=1}^{min(n,m)} \Bigg( \sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{T} \rfloor} i \sum_{j=1}^{\lfloor \frac{m}{T} \rfloor} j \Bigg) \sum_{d|T} d* \mu(d) *T \]

其实都可以算， 时间所迫（还有很多题没做啊啊啊啊）， 只写第二种， 第一种口胡下 : 对 \(g\) 整除分块， 再对 \(d\) 整除分块， 复杂度是 \(O(n^{\frac{3}4})\)， 再加上 \(O(n)\) 预处理 \(\mu\)， 总复杂度是 \(O(n)\) 的。

第二种 \(O(n)\) 预处理出 \(\sum_{d|T} d* \mu(d) *T\) 的前缀和， 再分块 \(O(\sqrt n)\) 算， 总复杂度也是 \(O(n)\) 的。

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第二种Luogu数据AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e7 + 15;
const int mod = 20101009;
const int inv2 = 10050505;
#define li long long

int pr_cnt, prime[maxn], v[maxn];
li f[maxn], s[maxn];
void euler(int n) {
	f[1] = s[1] = 1ll;
	for(int i=2; i<=n; ++i) {
		if(!v[i]) {
			v[prime[++pr_cnt] = i] = i;
			f[i] = 1-i+mod; //不用取模qwq 
		}
		for(int j=1; j<=pr_cnt; ++j) {
			if(prime[j] > n/i || prime[j] > v[i]) break;
			v[prime[j] * i] = prime[j];
			f[prime[j] * i] = f[i] * (i%prime[j] ? f[prime[j]] : 1ll) % mod;
		}
	}
	for(int i=1; i<=n; ++i) {
		f[i] = (1ll*f[i]*i) % mod;
	}
	for(int i=2; i<=n; ++i) {
		s[i] = s[i-1] + 1ll*i;
		s[i] %= mod;
	}
	for(int i=1; i<=n; ++i) {
		f[i] = (f[i]+f[i-1])%mod;
	}
}

int main()
{
	int n,m; cin>>n>>m; euler(max(n,m));
	int len = min(n,m);
	li ans = 0ll;
	for(int i=1,j;i<=len;i=j+1) {
		j = min(n/(n/i), m/(m/i));
		j = min(j,len);
		ans += s[n/i] * s[m/i] % mod * (f[j]-f[i-1]+mod) % mod;
		ans = (ans%mod+mod)%mod;
	}
	cout << ans;
	return 0;
}