kummer定理
没有校验过， 可能有锅qwq
Kummer定理
设\(n、m\)为正整数，\(p\)为素数，则\(C_{n+m}^m\)含\(p\)的幂次数等于\(m+n\)在p进制下的进位次数（在加法过程中）。
前置芝士：
\(n!\)含有的\(p\)的幂次数为：
\[\sum_1^{\infty} \Big[ \frac{n}{p^i} \Big]
\]
(这个随便画画就可以证明了)
证：
\(C_{n+m}^m\)含\(p\)的幂次数为:
\[\sum_1^{\infty} \Big[ \frac{m+n}{p^i} \Big] - \sum_1^{\infty} \Big[ \frac{n}{p^i} \Big] - \sum_1^{\infty} \Big[ \frac{m}{p^i} \Big]
\]
\[=\sum_1^{\infty} ( \Big[ \frac{m+n}{p^i} \Big] - \Big[ \frac{n}{p^i} \Big] - \Big[ \frac{m}{p^i} \Big] )
\]
接下来只要算出\(m+n\)在p进制下的进位次数（在加法过程中）就好。
将\(m+n、n、m\)分别写成\(p\)进制(下标为0的是最低位):
\[\overline{c_0c_1c_2 \cdots c_{unknown}} 、\overline{n_0n_1n_2 \cdots n_{unknown}} 、\overline{m_0m_1m_2 \cdots m_{unknown}}
\]
在加法过程中， 定义第\(pos\)位发生进位这个事件发生的条件为
\[n_{pos}+m_{pos} \geq p
\]
若第\(pos\)位发生了进位， 则
\[\overline{n_{pos+1} \cdots n_{unknown}} +\overline{m_{pos+1} \cdots m_{unknown}} < \overline{c_{pos+1} \cdots c_{unknown}}
\]
当然， 由于进位最多进一(\(\lfloor \frac{(p-1)+(p-1)}{p} \rfloor = 1\))， 故当第\(pos\)位发生进位时
\[\overline{c_{pos+1} \cdots c_{unknown}} - \overline{n_{pos+1} \cdots n_{unknown}} - \overline{m_{pos+1} \cdots m_{unknown}} = 1
\]
反之
\[\overline{n_{pos+1} \cdots n_{unknown}} +\overline{m_{pos+1} \cdots m_{unknown}} = \overline{c_{pos+1} \cdots c_{unknown}}
\]
即
\[\overline{c_{pos+1} \cdots c_{unknown}} - \overline{n_{pos+1} \cdots n_{unknown}} - \overline{m_{pos+1} \cdots m_{unknown}} = 0
\]
然后在\(p\)进制下\(m+n\)过程中的进位次数用数学式子表示就是这个
(\(\overline{x_{pos+1} \cdots x_{unknown}}\) = \(x/p^{pos+1}\))
\[\sum_1^{\infty} ( \Big[ \frac{m+n}{p^i} \Big] - \Big[ \frac{n}{p^i} \Big] - \Big[ \frac{m}{p^i} \Big] )
\]
然后就证毕了。
