微积分 A(1) 要点整理

期中考试前太鸽了就不补了，这里主要是期中考试之后的部分。

不定积分

不定积分的定义

不定积分的本质：找原函数。

对于两个函数 \(F,f\) 而言，称函数 \(F\) 为 \(f\) 在 \(I\in\mathbb{R}\) 上的原函数，当且 \(\forall x\in I\) 都有 \(F'(x)=f(x)\)。

记 \(\int f(x)\mathrm dx\) 为 \(f\) 所有原函数的集合，称作 \(f\) 的不定积分。

可以证明，如果 \(F(x)\) 为 \(f(x)\) 的原函数，那么 \(\int f(x)=F(x)+C\)，即两者只差一个常数。因为如果 \(G(x),F(x)\) 均为 \(f(x)\) 的原函数，那么 \(G'(x)=F'(x)\)，\((G-F)'(x)=0\)，因此 \(G(x)-F(x)\) 为常值函数。也就是说，我们只用找到 \(f(x)\) 的一个原函数 \(F(x)\)，那么 \(F(x)+C\) 就包含了 \(f(x)\) 的所有原函数。

容易证明积分满足线性性，即 \(\forall f,g:I\to\mathbb{R},\mu,\lambda\in\mathbb{R}\)，都有

\[\int(\mu f(x)+\lambda g(x))\mathrm dx=\lambda\int f(x)\mathrm dx+\mu\int g(x)\mathrm dx \]

常用函数的不定积分

这里列举几个容易忘记的，太基础的就不在这里赘述了：

\[\int\dfrac{1}{1+x^2}\mathrm dx=\arctan x+C \]

\[\int\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm dx=\arcsin x+C \]

\[\int\dfrac{1}{\sin^2x}\mathrm dx=-\cot x+C \]

\[\int\dfrac{1}{\cos^2x}\mathrm dx=\tan x+C \]

\[\int\dfrac{\sin x}{\cos^2x}\mathrm dx=\sec x+C \]

\[\int-\dfrac{\cos x}{\sin^2x}\mathrm dx=\csc x+C \]

不定积分的一些手段

1. 凑微分

如果被积函数可以写成 \(g(h(x))·h'(x)\) 的形式，那么可以提一个 \(h'(x)\) 变成 \(\mathrm d(h(x))\)，这样换元令 \(y=h(x)\) 就变成了 \(\int g(y)\mathrm dy\)。换句话说，\(\int g(h(x))h'(x)\mathrm dx=\int g(h(x))\mathrm d(h(x))\)，其依据是复合函数求导的链式法则 \((F(G(x)))'=F'(G(x))G'(x)\)。

2. 有理分式的积分

对于有理分式 \(\dfrac{P(x)}{Q(x)}\)，不妨假设 \(Q(x)\) 最高次项系数为 \(1\)，那么可以将 \(Q(x)\) 分解为 \((x+a_1)(x+a_2)\cdots(x+a_n)(x^2+b_1x+c_1)(x^2+b_2x+c_2)\cdots(x^2+b_mx+c_x)\) 的形式，这样 \(\dfrac{P(x)}{Q(x)}\) 可以表示为

\[\dfrac{u_1}{x+a_1}+\dfrac{u_2}{x+a_2}+\cdots+\dfrac{u_n}{x+a_n}+\dfrac{v_1x+w_1}{x^2+b_1x+c_1}+\cdots+\dfrac{v_mx+w_m}{x^2+b_mx+c_m} \]

使用待定系数法解出 \(u,v,w\)，此后根据

\[\int\dfrac{1}{x+a}\mathrm dx=\ln(|x+a|)+C \]

\[\int\dfrac{1}{(ax+b)^2+1}\mathrm dx=\dfrac{1}{a}\arctan(ax+b)+C \]

将所有一次多项式变成带 \(\ln\) 的项，二次多项式变成带 \(\arctan\) 的项即可。

如果有重根（例如质因数分解形式中存在 \((x+1)^3\) 这种），那么假设 \((x+a_i)\) 这一项的次数为 \(k\)，那么待定系数法中应有 \(\dfrac{u_1}{(x+a_1)},\dfrac{u_2}{(x+a_1)^2},\cdots,\dfrac{u_k}{(x+a_1)^k}\)，对于二次式也同理。

3. 含三角函数的积分

1. 凑微分：将 \(\cos x\) 变成 \(\mathrm d\sin x\)，\(\sin x\) 变成 \(-\mathrm d\cos x\)。

2. 用二倍角公式 \(\cos^2x=\dfrac{1+\cos2x}{2},\sin^2x=\dfrac{1-\cos 2x}{2}\) 来降次，但是不要把单个 \(\cos x\) 变成 \(\sqrt{1-\sin^2x}\)，否则会引入更麻烦的根式。

3. 一种能将含三角函数的积分全部转化为有理分式的方法：对于 \(\cos x\) 和 \(\sin x\) 的多项式的积分，可以考虑万能公式：令 \(t=\tan(\dfrac{x}{2})\)，那么 \(\sin x=\dfrac{2t}{1+t^2},\cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\)，这样

\[\int f(\sin x,\cos x)\mathrm dx=\int f(\dfrac{2t}{1+t^2},\dfrac{1-t^2}{1+t^2})\mathrm d(2\arctan t) \]

还有一种比较特殊的处理方法：

\[\begin{aligned} &\int\tan^4x\mathrm dx\\ =&\int\tan^2x(\sec^2x-1)\mathrm dx\\ =&-\int\tan^2x\mathrm dx+\int\tan^2x\mathrm d\tan x\\ =&\dfrac{\tan^3x}{3}-\int(\sec^2x-1)\mathrm dx\\ =&\dfrac{\tan^3x}{3}-\tan x+x \end{aligned} \]

其原理是 \(\tan^2x=\sec^2x-1\)，而 \(\sec^2x\) 刚好是 \(\tan x\) 的导数，方便凑微分凑成 \(\mathrm d\tan x\)。

4. 含根式的积分

• 对于根号底下是关于 \(x\) 的一次多项式（如 \(\sqrt{x-1}\)）的根式，直接换元令 \(y=\sqrt{x-1}\)，这样 \(x=y^2+1\)。

• 对于根号底下是关于 \(x\) 的二次多项式（如 \(\sqrt{1-x^2}\)）的根式，采用三角换元：

  • \(\sqrt{1-x^2}\) 型，令 \(x=\cos\theta\)，这样 \(\sqrt{1-x^2}=\sin\theta\)。
  • \(\sqrt{1+x^2}\) 型，令 \(x=\tan\theta\)，这样 \(\sqrt{1+x^2}=\sec\theta\)。
  • \(\sqrt{x^2-1}\) 型，令 \(x=\sec\theta\)，这样 \(\sqrt{x^2-1}=\tan\theta\)。

5. 分部积分

\[\int f(x)g'(x)\mathrm dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\mathrm dx \]

其依据是乘积的求导法则 \((f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\)。

6. 一类特殊的求解形如 \(e^{\lambda x}x^k\sin x\) 的积分的方法

考虑不断将 \(e^{\lambda x}x^k\sin x\) 求导会得到什么，显然你不论求多少次导，最终得到的式子都会形如 \(e^{\lambda x}\sin xP(x)+e^{\lambda x}\sin xQ(x)\)，其中 \(P(x),Q(x)\) 都是最高项次数 \(\le x^k\) 的多项式，也就是说我们可以将所有有用的式子写成 \(a_0e^{\lambda x}\sin x+a_1e^{\lambda x}x\sin x+a_2x^2e^{\lambda x}\sin x+\cdots+a_ke^{\lambda x}x^k\sin x+a_{k+1}e^{\lambda x}\cos x+a_ke^{\lambda x}x^k\sin x+a_{k+2}e^{\lambda x}x\cos x+\cdots+a_{2k+1}e^{\lambda x}x^k\cos x\) 的形式，那么一次求导相当于对这个系数序列 \(a\) 进行一次线性变换，即乘上一个矩阵，积分则是乘上该矩阵的逆矩阵，使用线性代数的知识求解即可。

定积分

定积分的定义

定积分的本质：求有向面积。

对于一闭区间 \([a,b]\)，定义其一组划分 \(P\) 为一组 \(a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_k=b\)，并定义这组划分的长度 \(\lVert P\rVert=\max\limits_{1\le i\le k}\{x_i-x_{i-1}\}\)。

• Darboux 积分的定义：对于一定义在 \([a,b]\) 上的函数 \(f(x)\)，考虑 \([a,b]\) 的一组划分 \(P\)，定义这组划分的 Darboux 上和 \(\overline{S}(f,P)=\sum\limits_{i=1}^k\sup\limits_{x\in[x_{i-1,x_i}]}f(x)\)，下和 \(\underline{S}(f,P)=\sum\limits_{i=1}^k\inf\limits_{x\in[x_{i-1,x_i}]}f(x)\)，如果当划分长度趋近于 \(0\) 时，划分的 Darboux 上和与下和均存在极限且相等，那么定义 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上的 Darboux 积分为这个相同的极限。
• Riemann 积分的定义：对于一组 \([a,b]\) 上的划分 \(P\) 和一组标志点集合 \(\{\xi_i\}\) 满足 \(x_{i-1}\le\xi_i\le x_{i}\)，定义其 Riemann 和 \(S(f,P,\xi)=\sum\limits_{i=1}^kf(\xi_i)(x_i-x_{i-1})\)，如果存在 \(A\in\mathbb{R}\) 满足 \(\forall \epsilon>0\)，存在 \(\delta\) 使得对于所有 \(\lVert P\rVert<\delta\) 的划分和任意标志点集合 \((P,\xi)\)，都有 \(|S(f,P,\xi)-A|<\epsilon\)，那么就称 \(A\) 为 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上的 Riemann 积分。

（Lebesgue 定理）以下结论等价：

• \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上 Riemann 可积。
• \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上有界，并且 Darboux 可积。
• \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上有界，并且所有间断点组成了一个零测度集。（零测度集的定义，\(\forall\epsilon>0\)，存在一个长度之和不超过 \(\epsilon\) 的区间集覆盖了这个区间上所有间断点）

根据 Lebesgue 定理，因为黎曼函数 \(R(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{q}&(x=\dfrac{p}{q}\in\mathbb{Q},p,q\in\mathbb{Z})\\0&(x\notin\mathbb{Q})\end{cases}\) 在所有无理数处连续，有理数处间断，所以 \(R(x)\) 在任意有界区间上黎曼可积，而迪利克雷函数 \(D(x)=\begin{cases}1&(x\in\mathbb{Q})\\0&(x\notin\mathbb{Q})\end{cases}\) 则不是黎曼可积的。

定积分的性质

定积分满足线性性、保序性，证明是容易的。

Newton-Leibniz 公式

1. 如果 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上黎曼可积，那么其变上限积分函数 \(g(x)=\int_a^xf(x)\mathrm dx\) 为 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上的原函数。
2. 如果 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上黎曼可积，且存在原函数 \(F(x)\)，那么 \(\int_a^bf(x)\mathrm dx=F(b)-F(a)\)。

这意味这如果我们能求出被积函数的原函数，那么直接在原函数两端点处做差即可得到定积分的值。

积分平均值定理

对于函数 \(f(x),g(x)\)，如果 \(\forall x\in[a,b],g(x)\ge 0\)，且 \(\int_a^bg(x)\mathrm dx>0\)，\(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，那么 \(\exists\xi\in(a,b)\)，使得

\[f(\xi)\int_a^bg(x)\mathrm dx=\int_a^bf(x)g(x)\mathrm dx \]

其正确性可以由连续函数的介值性证得。

定积分的应用

注：在本节中，我们默认我们研究的曲线都是简单闭曲线，即曲线首尾相连、不自交且是正则的。（正则的定义：对于平面直角坐标系下由参数方程确定的曲线 \(\bold{x}(x(t),y(t)):[\alpha,\beta]\to\mathbb{R}^2\) 而言，该参数曲线是正则的当且仅当 \(\forall t\in[\alpha,\beta]\)， \(\lVert\bold{x}'(t)\rVert\ne 0\)，其中 \(\bold{x}'(t)=(x'(t),y'(t))\)，在这个定义之下，参数曲线 \(\begin{cases}x=t^3\\y=t^2\end{cases}\) 就不是正则的，因为在 \((0,0)\) 处 \(\bold{x}'(t)=0\)）。

1. 计算封闭区域的面积

1. 计算由 \(y_1(x),y_2(x)(\forall x\in[\alpha,\beta],y_2(x)\ge y_1(x))\) 为上、下边界围成的区域面积：

   \[\int_{\alpha}^{\beta}(y_2(x)-y_1(x))\mathrm dx \]

2. 平面直角坐标系下由参数方程确定的简单闭曲线：对于沿着自然正向（沿着 \(t\) 增加的方向走时左手边位于曲线封闭区域内）的曲线，有

\[S=-\int y\mathrm dx=\int_{\alpha}^{\beta}y(t)x'(t)\mathrm dt \]

\[S=\int x\mathrm dy=\int_{\alpha}^{\beta}x(t)y'(t)\mathrm dt \]

\[S=\dfrac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\det\begin{bmatrix}x(t)&y(t)\\x'(t)&y'(t)\end{bmatrix} \]

​ 若是自然反向则需要加负号。

3. 极坐标方程系下由参数方程确定的曲线：
   \[S=\dfrac{1}{2}\int_{\theta_1}^{\theta_2}r^2\mathrm d\theta=\dfrac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r(t)^2\theta'(t)\mathrm dt \]
   计算依据：\(S=\dfrac{1}{2}ab\sin\theta\)，且 \(\theta\) 足够小时 \(\theta\approx\sin\theta\)。

2. 计算弧长

对于一条曲线而言，考虑在这条曲线上钉一些钉子，并顺次将钉的钉子连接起来形成一条折线，如果当钉子数量趋于无穷时，折线长的极限存在，那么就称这条曲线为可求长曲线，该极限称为曲线的弧长。计算弧长的方法：

1. \(n\) 维平面直角坐标系下由参数方程确定的曲线：\(\mathrm dl=\sqrt{\mathrm dx_1^2+\mathrm dx_2^2+\cdots+\mathrm dx_n^2}=\sqrt{x_1'(t)^2+x_2'(t)^2+\cdots+x_n'(t)^2}\mathrm dt\)。据此可以积分得到

   \[L=\int_{\alpha}^{\beta}\lVert\bold{x}'(t)\rVert\mathrm dt \]

2. 在极坐标系下由参数方程确定的曲线：\(\mathrm dl=\sqrt{\mathrm dr^2+(r\mathrm d\theta)^2}=\sqrt{r'(t)^2+r(t)^2\theta'(t)}\mathrm dt\)。

3. 计算曲率

对于曲线上一点 \(M(x(t),y(t))\) 而言，考虑曲线上另一点 \(M_1\)，我们在 \(M,M_1\) 处分别做曲线的切线，设两条切线形成的夹角为 \(\theta\)（锐角），\(M,M_1\) 在曲线上的距离为 \(l\)，那么我们定义曲线在 \(M\) 点处的曲率 \(\kappa=\lim\limits_{M_1\to M}\dfrac{|\theta|}{l}\)。根据这个定义我们知道曲线在一个点处的曲率同时也是曲线在这个点处曲率圆半径的倒数。

对于曲线上一点 \(M(x(t),y(t))\)，计算曲线在此点处曲率的公式为 \(\kappa=\dfrac{\lVert\bold{x}'(t)\times\bold{x}''(t)\rVert}{\lVert\bold{x}'(t)\rVert^3}\)。如果我们考虑记 \(l(t)=\int_{\alpha}^t\lVert\bold{x}'(s)\rVert\mathrm ds\) 的反函数为 \(t(l)\)，并定义 \(\tilde{\bold{x}}(l)=\bold{x}(t(l))\)，那么曲线在 \(M(x(t),y(t))\) 处的曲率可以用更简洁的式子表示：\(\kappa=\lVert\tilde{\bold{x}}''(l(t))\rVert\)。

如果函数以极坐标参数方程的方式求出，那么类似地可以变形得到 \(\kappa=\dfrac{|r(\theta)^2+2r'(\theta)^2-r(\theta)r''(\theta)|}{(r(\theta)^2+r'(\theta)^2)^{\frac{3}{2}}}\)。

4. 计算旋转体体积

对于一曲线 \(y=f(x)(x\in[a,b])\)，如果我们要求其沿着 \(x\) 轴旋转一周得到的旋转体的体积，考虑微元法，将其沿着 \(x\) 轴切成若干薄片，每一片看作一圆柱体，那么圆柱体的体积就是 \(\pi y^2\mathrm dx\)，这样可以得到旋转体体积

\[V=\pi\int_a^b f^2(x)\mathrm dx \]

如果曲线以参数方程 \(x=x(t),y=y(t)\) 的形式给出，一样可以求得

\[V=\pi\int_{\alpha}^{\beta}y^2(t)x'(t)\mathrm dt \]

5. 计算旋转体表面积

对于一曲线 \(y=f(x)(x\in[a,b])\)，如果我们要求其沿着 \(x\) 轴旋转一周得到的旋转体的表面积，考虑微元法，将整段弧长切成若干段，如果将每一段视作与 \(x\) 轴平行的线段，那么其绕一周得到的旋转体表面积就是 \(2\pi y\mathrm dl\)，这样可以得到旋转体表面积

\[S=2\pi\int_a^b |f(x)|\mathrm dl \]

如果曲线以参数方程 \(x=x(t),y=y(t)\) 的形式给出，则有

\[S=2\pi\int_{\alpha}^{\beta}|y(t)|\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\mathrm dt \]

广义积分

带无穷的积分

对于函数 \(f(x):[a,\infty)\to\mathbb{R}\)，如果 \(\forall b\ge a\)，\(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上黎曼可积，并且

\[\lim\limits_{b\to+\infty}\int_a^bf(x)\mathrm dx \]

存在，那么称

\[\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm dx=\lim\limits_{b\to+\infty}\int_a^bf(x)\mathrm dx \]

同理定义左端点是负无穷的积分。

对于左右端点都是无穷的积分，如果

\[\lim\limits_{b\to+\infty}\int_a^bf(x)\mathrm dx \]

\[\lim\limits_{b\to-\infty}\int_b^af(x)\mathrm dx \]

都存在，那么称

\[\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\mathrm dx=\lim\limits_{b\to+\infty}\int_a^bf(x)\mathrm dx+\lim\limits_{b\to-\infty}\int_b^af(x)\mathrm dx \]

注意：

1. 用 \(\lim\limits_{a\to+\infty}\int_{-a}^{a}f(x)\mathrm dx\) 来定义左右端点都是无穷的积分则是不正确的，比方说要判断 \(\int_{-\infty}^{+\infty}\dfrac{x}{1+x^2}\mathrm dx\) 的收敛性，因为 \(\dfrac{x}{1+x^2}\)是奇函数，所以用 \(\lim\limits_{a\to+\infty}\int_{-a}^{a}f(x)\mathrm dx\) 的定义得到的极限是 \(0\)，但按照正确的定义这个积分是不收敛的。
2. 如果 \(\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm dx\) 收敛，并不能推出 \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0\)，反例：\(f(x)=\begin{cases}1-2^n|x-n|&(x\in[n-2^{-n},n+2^{-n}])\\0&(x\notin[n-2^{-n},n+2^{-n}])\end{cases}\)。

带瑕点的积分

对于函数 \(f(x):[a,b)\to\mathbb{R}\) 无界，如果其在任意 \([a,b-\epsilon](\epsilon>0)\) 上黎曼可积，并且

\[\lim\limits_{\epsilon\to0^+}\int_a^{b-\epsilon}f(x)\mathrm dx \]

存在，那么称

\[\int_a^bf(x)\mathrm dx=\lim\limits_{\epsilon\to0^+}\int_a^{b-\epsilon}f(x)\mathrm dx \]

并称 \(b\) 为该积分的瑕点。同理可以定义左端点是瑕点的积分。

以上两类积分统称为广义积分。

判断广义积分是否收敛的四种方法

1. Newton-Leibniz 公式

对于广义积分而言，需将常义积分的 Newton-Leibniz 公式进行一些推广。

设 \(f(x)\) 在 \([a,\omega)(\omega\in[a,\infty)\cup\{+\infty\})\) 上任意子区间上可积，并且 \(F(x)\) 为其原函数，那么 \(\int_a^{\omega}f(x)\mathrm dx\) 存在当且仅当 \(\lim\limits_{x\to\omega^-}F(x)\) 存在，此时

\[\int_a^{\omega}f(x)\mathrm dx=\lim\limits_{x\to\omega^-}F(x)-F(a) \]

Newton-Leibniz 公式适用于那些可以较容易用不定积分的手段求出原函数的函数的积分。

2. 柯西收敛准则

\(\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm dx\) 收敛，当且仅当 \(\forall\epsilon>0\)，\(\exists N_{\epsilon}\) 满足 \(\forall A_2>A_1>N_{\epsilon}\)，都有 \(|\int_{A_1}^{A_2}f(x)\mathrm dx|<\epsilon\)。

证明可以用类似于有理数的柯西列的方法，这里不再赘述。

3. 比较法

称广义积分 \(\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm dx\) 绝对收敛，当且仅当 \(\int_a^{+\infty}|f(x)|\mathrm dx\) 也收敛，反之其条件收敛。

容易证明绝对收敛的积分必然积分，其依据是三角不等式

\[|\int_a^bf(x)\mathrm dx|\le\int_a^b|f(x)|\mathrm dx \]

对于广义积分 \(\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm dx\) 而言，如果存在函数 \(g\) 满足：

• \(\int_a^{+\infty}g(x)\mathrm dx\) 绝对收敛。
• 当 \(x\to+\infty\) 时，\(f(x)=O(g(x))\)。

那么 \(\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm dx\) 绝对收敛。

常用于做等价代换的 \(g(x)\) 有：

• \(\int_0^{+\infty}e^{-\lambda x}\mathrm dx\)。该广义积分收敛当且仅当 \(\lambda>0\)，收敛时极限为 \(\dfrac{1}{\lambda}\)。
• \(\int_1^{+\infty}x^p\mathrm dx\)。该广义积分收敛当且仅当 \(p<-1\)，收敛时极限为 \(-\dfrac{1}{p+1}\)。
• \(\int_0^1x^p\mathrm dx\)。该广义积分收敛当且仅当 \(p>-1\)，收敛时极限为 \(\dfrac{1}{p+1}\)。

此种方法适用于不存在原函数，但容易用泰勒展开求出其在无穷或者瑕点附近的阶的广义积分。

4. Dirichlet-Abel 判别法

• Dirichlet 定理：对于在任意 \([a,A]\) 上黎曼可积的函数 \(f(x)\) 和单调函数 \(g(x)\)，如果 \(f\) 的变上限积分函数 \(\int_a^bf(x)\mathrm dx\) 有界，并且 \(\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=0\)，那么 \(\int_a^{+\infty}f(x)g(x)\mathrm dx\) 的极限存在。
• Abel 定理：对于在任意 \([a,A]\) 上黎曼可积的函数 \(f(x)\) 和单调函数 \(g(x)\)，如果 \(\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm dx\) 存在，并且 \(\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=A(A\in\mathbb{R})\)，那么 \(\int_a^{+\infty}f(x)g(x)\mathrm dx\) 的极限存在。

证明是使用分部积分。

比较重要的广义积分

\(\Gamma\) 函数

考虑积分

\[\int_0^{+\infty}x^{\alpha-1}e^{-x}\mathrm dx \]

首先，

\[\int_0^{+\infty}x^{\alpha-1}e^{-x}=\int_0^{1}x^{\alpha-1}e^{-x}+\int_0^{1}x^{\alpha-1}e^{-x} \]

对于前者，当 \(x\to 0\) 时候，\(e^{-x}\) 趋近于 \(1\)，因此 \(x^{\alpha-1}e^{-x}=O(x^{\alpha-1})\)，根据比较法可知积分收敛当且仅当 \(\alpha-1>-1\)，即 \(\alpha>0\)。

对于后者，因为指数函数的阶高于一切幂函数，所以存在 \(N\) 使得 \(\forall x>N,x^{\alpha-1}e^{-x}<e^{-x/2}\)，根据比较法可知不论 \(\alpha\) 取何值加号后面的部分都是收敛的。

换句话说上述积分收敛当且仅当 \(\alpha>0\)。

这样我们定义

\[\Gamma(\alpha)=\int_0^{+\infty}x^{\alpha-1}e^{-x}\mathrm dx \]

那么分部积分可得

\[\begin{aligned} \Gamma(\alpha)&=\int_0^{+\infty}x^{\alpha-1}e^{-x}\mathrm dx\\ &=(-x^{\alpha-1}e^{-x}|_0^{+\infty})+(\alpha-1)\int_0^{+\infty}x^{\alpha-2}e^{-x}\mathrm dx\\ &=(\alpha-1)\Gamma(\alpha-1) \end{aligned} \]

换句话说，对于正整数 \(n\)，有 \(\Gamma(n+1)=n!\)。

\(\Beta\) 函数

考虑积分

\[\int_0^{1}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}\mathrm dx \]

首先，

\[\int_0^{1}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}\mathrm dx=\int_0^{\frac{1}{2}}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}\mathrm dx+\int_{\frac{1}{2}}^{1}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}\mathrm dx \]

对于前者，当 \(x\to 0^+\) 时，\(x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}=O(x^{\alpha-1})\)，其收敛当且仅当 \(\alpha>0\)。

对于后者，当 \(x\to 1^-\) 时，\(x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}=O((1-x)^{\beta-1})\)，其收敛当且仅当 \(\beta>0\)。

换句话说上述积分收敛当且仅当 \(\alpha,\beta>0\)。

这样我们定义

\[\Beta(\alpha,\beta)=\int_0^{1}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}\mathrm dx \]

那么分部积分可得

\[\begin{aligned} \Beta(\alpha,\beta)&=\int_0^{1}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}\mathrm dx\\ &=-\dfrac{1}{\beta}x^{\alpha-2}(1-x)^{\beta-1}|_0^1+\dfrac{\alpha}{\beta}\int_0^{1}x^{\alpha-2}(1-x)^{\beta}\mathrm dx\\ &=\dfrac{\alpha}{\beta}\Beta(\alpha-1,\beta+1) \end{aligned} \]

又因为当 \(\alpha=0\) 时，\(\Beta(\alpha,\beta)=\int_0^1(1-x)^{\beta-1}\mathrm dx=-\dfrac{(1-x)^{\beta}}{\beta}|_0^1=\dfrac{1}{\beta}\)。

所以 \(\Beta(\alpha,\beta)=\dfrac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}\)。

\(\Beta\) 函数和 \(\Gamma\) 函数有不少类似之处，因此前者被称为第一类欧拉积分，后者被称为第二类欧拉积分。

计算积分 \(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln(\sin x)\mathrm dx\)

比较经典也比较有意思的一类定积分。

首先收敛性的证明：

\[\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln(\sin x)\mathrm dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln(x)\mathrm dx+\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln(\dfrac{\sin x}{x})\mathrm dx \]

前者等于 \((x\ln x-x)|_0^{\frac{\pi}{2}}\)，因为 \(\lim\limits_{x\to 0}x\ln x=0\)，所以积分收敛。后者因为 \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1\) 也收敛。所以两者之和 \(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln(\sin x)\mathrm dx\) 收敛。

\[\begin{aligned} &\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln(\sin x)\mathrm dx\\ =&\dfrac{1}{2}\int_0^{\pi}\ln(\sin x)\mathrm dx\\ =&\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln(\sin 2x)\mathrm dx\\ =&\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln(2\sin x\cos x)\mathrm dx\\ =&\dfrac{\pi\ln 2}{2}+\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln(\sin x)\mathrm dx+\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln(\cos x)\mathrm dx\\ =&\dfrac{\pi\ln 2}{2}+2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln(\sin x)\mathrm dx\\ =&-\dfrac{\pi\ln 2}{2} \end{aligned} \]

有点类似于分部积分时将式子变成 \(\int f(x)\mathrm dx=A\int f(x)\mathrm dx+g(x)(A\ne 1)\) 的形式的套路，但是不完全一样。

\(\int_0^{+\infty}\dfrac{\sin x}{x^{\alpha}}\mathrm dx\) 的收敛性

当 \(x\to+\infty\) 时，\(\dfrac{\sin x}{x^{\alpha}}=O(x^{-\alpha})\)，所以当 \(\alpha>1\) 时，\(\int_1^{+\infty}\dfrac{\sin x}{x^{\alpha}}\mathrm dx\) 绝对收敛，但因为 \(\sin x\) 可正可负，当 \(\alpha\le 1\) 的时候的收敛性并不能用比较法直接判断。

当 \(x\to 0^+\) 时，\(\dfrac{\sin x}{x^{\alpha}}=x^{1-\alpha}(1+o(1))\)，因此当 \(\alpha<2\) 时 \(\int_0^{1}\dfrac{\sin x}{x^{\alpha}}\mathrm dx\) 收敛，反之 \(\int_0^{1}\dfrac{\sin x}{x^{\alpha}}\mathrm dx\) 发散。

当 \(0<\alpha\le 1\) 时，\(\forall A\le B\)，都有

\[\begin{aligned} |\int_A^B\dfrac{\sin x}{x^{\alpha}}\mathrm dx|&=|-\int_A^B\dfrac{1}{x^{\alpha}}\mathrm d\cos x|\\ &=|-\dfrac{\cos x}{x^{\alpha}}|_A^B-\alpha\int_A^B\dfrac{\cos x}{x^{\alpha+1}}\mathrm dx|\\ &=|\dfrac{\cos A}{A^{\alpha}}-\dfrac{\cos B}{B^{\alpha}}-\alpha\int_A^B\dfrac{\cos x}{x^{\alpha+1}}\mathrm dx|\\ &\le\dfrac{\cos A}{A^{\alpha}}+\dfrac{\cos B}{B^{\alpha}}-\alpha\int_A^B\dfrac{1}{x^{\alpha+1}}\mathrm dx\\\ &\le\dfrac{1}{A^{\alpha}}+\dfrac{1}{B^{\alpha}}+\dfrac{1}{x^{\alpha}}|_A^B\\ &\le\dfrac{3}{A^{\alpha}} \end{aligned} \]

根据柯西准则可知，当 \(0<\alpha\le 1\) 时积分收敛但不绝对收敛。

当 \(\alpha\le 0\) 时，

\[\int_{2k\pi+\frac{\pi}{6}}^{2k\pi+\frac{5\pi}{6}}\dfrac{\sin x}{x^{\alpha}}\mathrm dx\ge\int_{2k\pi+\frac{\pi}{6}}^{2k\pi+\frac{5\pi}{6}}\frac{1}{2}\mathrm dx\ge\dfrac{\pi}{3} \]

根据柯西准则可知积分不收敛。

因此：

• 当 \(\alpha\le 0\) 或 \(\alpha\ge 2\) 时积分发散。
• 当 \(1<\alpha<2\) 时积分绝对收敛。
• 当 \(0<\alpha\le 1\) 时积分条件收敛。

微分方程

微分方程的定义

微分方程：含有未知函数及其导函数的方程或方程组。

常微分方程：微分方程中所有未知函数都是同一一元函数的若干阶导数的微分方程，即可以表示为 \(F(x,y,y',y'',\cdots,y^{(n)})=0\) 的微分方程。此时的 \(n\) 被称为微分方程的阶数。

满足上述微分方程的 \(y\) 称为微分方程的特解。含 \(n\) 个任意常数的解被称为微分方程的通解。通解不一定包含特解。

一些经典一阶微分方程解法

1. \(y'=f(x)\) 型

直接对 \(f(x)\) 做不定积分即可。

\[y(x)=\int f(x)\mathrm dx+C \]

2. \(y'=p(x)q(y)\) 型

将式子变形为

\[\dfrac{\mathrm dy}{q(y)}=p(x)\mathrm dx \]

积分得到 \(p(x),\dfrac{1}{q(y)}\) 的原函数 \(P(x),Q(y)\)，这样微分方程解的隐式形式可以表示为

\[P(x)=Q(y)+C \]

当然，如果 \(Q(y)\) 存在反函数，那么可以进一步变形为 \(y=f(x)\) 的形式，这种情况一般具体题目具体分析。

3. \(y'=q(\dfrac{y}{x})\) 型

令 \(u=\dfrac{y}{x}\)，那么根据除法求导法则

\[\dfrac{\mathrm du}{\mathrm dx}=\dfrac{y'x-x'y}{x^2} \]

然后把 \(y'=q(u)\) 带入可得

\[\dfrac{\mathrm du}{\mathrm dx}=\dfrac{q(u)-u}{x} \]

右边有个 \(\dfrac{1}{x}\) 的系数我们看着不爽，将其与 \(\mathrm dx\) 结合起来变成 \(\mathrm d(\ln|x|)\) 可以化简为

\[\dfrac{\mathrm du}{\mathrm d\ln|x|}=q(u)-u \]

这样积分得到

\[\ln|x|=\int\dfrac{1}{q(u)-u}\mathrm du \]

不妨设 \(\dfrac{1}{q(u)-u}\) 存在原函数 \(P(u)\)，那么上式等价于

\[x=Ce^{P(\frac{y}{x})} \]

因为 \(C\) 可正可负，这样我们左边的 \(x\) 就不用加绝对值了。这样我们得到了参数方程的隐式表达。

4. \(y'=f(\dfrac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2})\) 型

首先解方程组 \(\begin{cases}a_1x+b_1y+c_1=0\\a_2x+b_2y+c_2=0\end{cases}\)，会出现两种情况：

• 方程组有解，假设解是 \(\begin{cases}x=x_0\\y=y_0\end{cases}\)，那么我们换元 \(p=x-x_0,q=y-y_0\)，这样式子变成 \(f(\dfrac{a_1p+b_1q}{a_2p+b_2q})\)，这是关于 \(\dfrac{q}{p}\) 的函数，使用 \(y'=f(\dfrac{y}{x})\) 的解法求解即可。
• 方程组无解，这时 \(\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}\)，微分方程可以写成 \(y'=f(\alpha+\dfrac{\beta}{a_2x+b_2y+c_2})\) 的形式，此时再换元 \(u=a_2x+b_2y+c_2\)，\(u'=b_2y'+a_2\)，微分方程进一步变成 \(u'=b_2f(\alpha+\dfrac{\beta}{u})+a_2\) 的形式，令 \(p(x)=1,q(u)=b_2f(\alpha+\dfrac{\beta}{u})+a_2\)，那么式子就是 \(u'=p(x)q(u)\) 的形式，使用相应的方式求解即可。

5. \(y'=f(ax+by+c)\) 型

换元令 \(u=ax+by+c\)，那么 \(\dfrac{\mathrm du}{\mathrm dx}=a+by'=a+bf(u)\)，令 \(p(x)=1,q(u)=a+bf(u)\)，那这个式子就是 \(u'=p(x)q(u)\) 的形式，使用相应的方式求解即可。

6. 一阶线性方程

一阶线性方程是形如 \(y'=a(x)y+b(x)\) 的微分方程，当 \(b(x)=0\) 时微分方程又被称为齐次方程。

可以注意到：

• 如果 \(f(x),g(x)\) 为齐次方程 \(y'=a(x)y\) 的解，那么 \(f(x)+g(x)\) 也是齐次方程 \(y'=a(x)y\) 的解。
• 如果 \(f(x)\) 为齐次方程 \(y'=a(x)y\) 的解，\(g(x)\) 为非齐次方程 \(y'=a(x)y+b(x)\) 的解，那么 \(f(x)+g(x)\) 是非齐次方程 \(y'=a(x)y+b(x)\) 的解。
• 如果 \(f(x),g(x)\) 为非齐次方程 \(y'=a(x)y+b(x)\) 的解，那么 \(f(x)g(x)\) 是齐次方程 \(y'=a(x)y\) 的解。

换句话说，一阶线性方程的解形成了一组线性空间，这启发我们先求出对应的齐次方程的解 \(f(x)\)，再求出非齐次方程的一组特解 \(g(x)\)，这样非齐次方程的通解就可以表示为 \(Cf(x)+g(x)\) 的形式。

求解齐次方程是容易的，令 \(p(x)=a(x),q(y)=y\)，那么式子是 \(y'=p(x)q(y)\) 的形式，使用分离变量的方法可以求得

\[f(x)=Ce^{\int a(t)\mathrm dt} \]

求解非齐次方程的方法：常数变易法。设 \(y(x)=C(x)f(x)\)，那么 \(C'(x)f(x)+f'(x)C(x)=a(x)C(x)f(x)+b(x)\)，而因为 \(f(x)\) 是齐次方程 \(y'=a(x)y\) 的解，因此 \(f'(x)=a(x)f(x)\)，因此化简可得 \(C'(x)=\dfrac{b(x)}{f(x)}\)，积分可求得 \(C(x)\)，进而求得非齐次方程的一组特解。

在 \(C'(x)\) 积分得到 \(C(x)\) 的那一步中，\(C'(x)\) 常常能够写成 \(e^{\lambda x}x^k\) 或者 \(e^{\lambda x}x^k\sin x\) 的形式，此时除了分部积分以外，还有一种使用线性代数知识求解的方法，可以参考「不定积分」那一部分的方法 6。

推广：伯努利方程：\(y'=a(x)y+b(x)y^{\alpha}\)。令 \(z=y^{1-\alpha}\)，那么 \(z'=(1-\alpha)y^{-\alpha}y'=(1-\alpha)(b(x)+a(x)z)\)，这是一个线性方程，可以解出 \(z\) 的通解，进而得到 \(y\) 的通解。

一些经典高阶微分方程的解法

1. 不显含 \(y\) 的微分方程

对于形如

\[F(x,y^{(k)},y^{(k+1)},\cdots,y^{(n)})=0 \]

的微分方程，考虑令 \(p=y^{(k)}\)，那么微分方程可以化作

\[F(x,p,p',\cdots,p^{(n-k)})=0 \]

解出 \(p=u\) 以后对 \(u\) 积分 \(k\) 次即可得到 \(y\)。

2. 不显含 \(x\) 的微分方程

对于形如

\[F(y,y',\cdots,y^{(n)})=0 \]

的微分方程，考虑 \(u(y)=y'\)，那么微分方程可化为

\[F(y,u,u·\dfrac{\mathrm du}{\mathrm dy},(u\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dy})^{n-1}u)=0 \]

特别地，当 \(n=2\) 时，微分方程可化为

\[F(y,u,uu')=0 \]

此时 \(y\) 代替了 \(x\) 的地位，\(u\) 代替了 \(y\) 的地位，解出 \(u\) 以后再解一遍一阶微分方程 \(y'=u(y)\) 即可。

3. 常系数线性齐次方程

形如 \(a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_1y'+a_0y=0\) 的微分方程被称为常系数线性齐次方程。

对于此类方程，求解的通用方法是，先解出方程的 \(n\) 个特征根，即考虑方程 \(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0\)。有以下四种情形：

• 特征根方程的解存在单个实根 \(\lambda\)，则微分方程的解里存在带自由元的项 \(Ce^{\lambda x}\)。
• 特征根方程的解里存在 \(k\) 重实根 \(\lambda\)，则微分方程的解里存在带自由元的项 \(e^{\lambda x}(C_{k-1}x^{k-1}+C_{k-2}x^{k-2}+\cdots+C_0)\)。
• 特征根方程的解里存在单个复根 \(a+b\text{i}\)，则微分方程的解里存在带自由元的项 \(e^{ax}(C_1\sin bx+C_2\cos bx)\)。
• 特征根方程的解里存在 \(k\) 重复根 \(a+b\text{i}\)，则微分方程的解里存在带自由元的项 \(e^{ax}((C_{k-1}x^{k-1}+C_{k-2}x^{k-2}\cdots+C_0)\sin bx+(D_{k-1}x^{k-1}+D_{k-2}x^{k-2}+\cdots+D_0)\cos bx)\)。

把这些带自由元的项相加即可得到常系数线性齐次方程的通解。

4. 常系数非齐次线性方程

形如 \(a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_1y'+a_0y=f(x)\) 的微分方程被称为常系数线性非齐次方程。

因为常系数线性非齐次方程的解是一组线性空间，因此我们只需按照前文所述的方法求出对应的常系数线性齐次方程的通解以后，再求出一组常系数线性非齐次方程的特解即可。

而对于此种形式的微分方程而言，\(f(x)\) 通常是 \(e^{\lambda x}·P(x)\) 的形式，其中 \(P(x)\) 是关于 \(x\) 的多项式，因为形如 \(e^{\lambda x}·P(x)\) 的式子不管求多少遍导以后仍是这种形式，因此不妨假设非齐次方程的特解 \(Y(x)=e^{\lambda x}Q(x)\)，然后通过待定系数法可以求出 \(Q(x)\) 的系数。

如果 \(f(x)\) 中带三角函数，比如 \(e^{\lambda x}\sin(\omega x)\)，那么因为 \(e^{\text{i}x}=\cos x+\text{i}\sin x\)，我们可以将 \(\sin(\omega x)\) 看成指数是复数的指数函数，使用类似的方法同样可以求解。

5. 欧拉方程

形如 \(p_ny^{(n)}x^n+p_{n-1}y^{(n-1)}x^{n-1}+\cdots+p_1y'x+p_0y=f(x)\) 的方程被称为欧拉方程。

对于欧拉方程而言，一般性的求解方法是，令 \(t=\ln x\)，那么 \(y^{(n)}x^n=(\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}-n+1)(\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}-n+2)\cdots(\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}-1)\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}y\)，使用这种方法，我们设 \(y=f(t)\)，那么式子可以转化为关于 \(y\) 的常系数高阶线性方程，求出 \(f(t)\) 以后根据 \(t=\ln x\) 带回去即可。