洛谷 P6499 - [COCI2016-2017#2] Burza（状压 dp）

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一道挺有意思的思维题（？）

首先我们假设根节点深度为 \(0\)，那么 Daniel 的目标显然就是堵住一些节点使得 Stjepan 不能移动到深度为 \(k\) 的节点，Stjepan 的目标就是将棋子移到深度为 \(k\) 的节点。我们还可以发现一个显然的性质，就是 Daniel 在第 \(i\) 步肯定会堵住深度为 \(i\) 的节点（如果还存在深度为 \(i\) 的节点没有堵住），因为如果堵住一个深度 \(<i\) 的节点那显然是无效的，而如果堵住深度 \(>i\) 的节点，我们完全可以将其移到它深度为 \(i\) 的祖先上，这样肯定比堵住原来的节点来得更优。

于是现在问题就转化为，你需要选择一个集合 \(S\subseteq T=\{1,2,3,\cdots,k\}\) 并堵住深度为 \(x\) 的点各一个（\(x\in S\)），使得不存在深度为 \(k\) 的点满足从根节点到该点的路径都被堵住了。

这样看上去还是很不好做，不过注意到当 \(k\) 比较大的时候答案都是 DA，事实上，对于 \(k\ge\sqrt{n}\) 答案必定是 DA，感性理解（因为我也不会严谨证明，想了半天没想通/wul）可知最劣情况大概是根节点下面接了 \(k\) 条长度为 \(k\) 的链，那么此时你只需在第 \(i\) 条链上堵住长度为 \(i\) 的边即可，这样我们就将 \(k\) 的规模降到了 \(19\)。

注意到这道题的状态与集合有关，因此考虑状压 \(dp\)，由于每次堵住一个点会使得一个子树内的点到根节点的路径受阻，因此考虑 DFS 序，将所有深度为 \(k\) 的点按照 DFS 序从小到大排成一列，那么堵住每个点后会使一段区间 \([L_x,R_x]\) 内的深度为 \(k\) 的点不可到达，因此可以设 \(dp_{i,S}\) 表示 \(1\sim i\) 的点已经被堵住了，堵住的点的深度组成的集合为 \(S\) 是否合法，转移就枚举 \(x\) 满足 \(L_x=i+1\) 且 \(dep_x\notin S\)，然后用 \(dp_{i,S}\) 更新 \(dp_{R_x,S\cup\{dep_x\}}\) 即可。

时间复杂度 \(n2^k\)。

const int MAXN=400; 
int n,k,hd[MAXN+5],to[(MAXN<<1)+5],nxt[(MAXN<<1)+5],ec=0;
void adde(int u,int v){to[++ec]=v;nxt[ec]=hd[u];hd[u]=ec;}
int dep[MAXN+5],L[MAXN+5],R[MAXN+5],lcnt=0;bool on[MAXN+5];
void dfs(int x,int f){
	on[x]=1;
	if(dep[x]>=k) return L[x]=lcnt,R[x]=++lcnt,void();
	L[x]=lcnt;
	for(int e=hd[x];e;e=nxt[e]){
		int y=to[e];if(y==f) continue;
		dep[y]=dep[x]+1;dfs(y,x);
	} R[x]=lcnt;
}
vector<pii> idl[MAXN+5];
bool dp[MAXN+5][1048577];
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&k);if(k*k>=n) return printf("DA\n"),0;
	for(int i=1,u,v;i<n;adde(u,v),adde(v,u),i++) scanf("%d%d",&u,&v);
	dfs(1,0);dp[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++) if(on[i]&&(i^1)) idl[L[i]].pb(mp(R[i],dep[i]));
	for(int i=0;i<lcnt;i++) for(int j=0;j<(1<<k);j++)
		for(pii p:idl[i]) if(~j>>(p.se-1)&1) dp[p.fi][j|(1<<p.se-1)]|=dp[i][j];
	bool ret=0;for(int i=0;i<(1<<k);i++) ret|=dp[lcnt][i];
	printf("%s\n",ret?"DA":"NE");
	return 0;
}