洛谷 P4631 - [APIO2018] 选圆圈（类平面最近点对分治法）

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说实话在看题解之前我甚至不会复杂度低于平方的算法，毕竟我感觉圆覆盖这个东西……挺难用传统 DS 维护的吧（

事实上，如果你会平面最近点对的分治做法，那么你会发现那个做法对此题很有启发式作用。

首先考虑将平面划分成若干个网格状的正方形，具体来说假设当前半径最大的圆的半径为 $R$，那么我们就将网格划分为 $2R\times 2R$ 的网格且刚好卡住半径最大的圆，这样我们遍历与一个圆可能相交的圆时，只需检查那些在周围 $8$ 个区域中的圆即可。当最大圆的半径小于 $\dfrac{R}{2}$ 时我们就重新划分。考虑这样做的时间复杂度，显然划分的轮数是 $\log R$ 级别的，而在一轮中每个圆被访问次数是常数级别的，感性理解就是其周围 $8$ 个格子中不会有太多两两不相交且半径 $\ge\dfrac{R}{2}$ 的圆。而为了定位到一个圆所在位置需要使用 map，总复杂度 $n\log n\log R$，把 map 换成哈希表可以做到 $n(\log n+\log R)$。