洛谷 P3783 - [SDOI2017]天才黑客（前后缀优化建图）
神仙题一道。
首先注意到这里的贡献涉及到边的顺序，并且只与相邻的边是什么有关，因此不难想到一个做法——边转点，点转边，具体来说对于每条边 \(e\)，我们将其拆成两个点 \(in_e,out_e\)，并连边 \(in_e\to out_e\)，权值为 \(c_e\)，同时对于所有 \(b_i=a_j\) 的边 \(i,j\)，连边 \(out_i\to in_j\)，权值为 \(dep[\text{LCA}(d_i,d_j)]\)，以及对于所有 \(a_i=1\) 的边连 \(S\to in_i\)，权值为 \(0\) 的边，跑最短路，最后 \(ans_i=\min\limits_{b_e=i}dis_{out_e}\)。正确性显然。
然而该做法效率低下，边数最高可达到 \(\mathcal O(m^2)\)，一脸过不去的亚子。于是又到了优化建图的时间了，一个 observation 是对于一个点 \(u\) 而言，我们在 \(b_i=a_j=u\) 的边 \(i,j\) 之间连边，这些边边权的种类是不会太多的，因为假设 \(S=\{d_i|b_i=u\lor a_i=u\}\)，那么这些边权肯定只能是 \(S\) 当中某两个点的 \(\text{LCA}\) 的深度，根据虚树那一套理论，\(S\) 当中任意两点的 \(\text{LCA}\) 总共只有 \(\mathcal O(|S|)\) 种可能。而对于所有点 \(u\)，它们对应 \(|S|\) 的总和为 \(\mathcal O(m)\) 级别，这个是在我们能接受的范围内的。因此考虑从这个性质入手优化这道题，我们将 \(S\) 当中的点按 DFS 序排个序，那么根据虚树中一个定理：对于待建立虚树的 \(m\) 个点 \(a_1,a_2,\cdots,a_m\)，假设将其按照 DFS 序排序得到 \(b_1,b_2,\cdots,b_m\)，那么记 \(h_i=dep[\text{LCA}(a_i,a_{i+1})]\)，有 \(dep[\text{LCA}(b_l,b_r)]=\min\limits_{i=l}^{r-1}h_i\)（和 SA 有点像），因此考虑按照套路求出 \(h_i\)，那么问题可以转化为：
- 有一排 \(t\) 个点，每个点有两种类型 \(0/1\)，每两个点中间写有一个数 \(h_i\)，我们要从所有 \(0\) 点向 \(1\) 点连边，权值为它们之间数的最小值。
这个有一个显然的做法——对于某个 \(h_x\)，满足 \(\min\limits_{i=l}^{r-1}h_i=h_x\) 的 \(l,r\) 肯定分别在一段区间内，单调栈求出对应的区间，线段树优化建图即可，但是这个做法多一个 \(\log\)，不知道能不能通过，而且实现起来过于麻烦，因此我们还需考虑更简便做法。考虑最短路的一个性质，就是对于两点间如果有多条边的情况，那么显然只有权值最小的边是有用的，其他边可连可不连——连了也不影响你最短路的大小。因此考虑对于某个 \(h_i\)，我们不维护什么单调栈，直接从 \([1,i]\) 中的 \(0\) 点向 \([i+1,t]\) 中的 \(1\) 点连边，\([i+1,t]\) 中的 \(0\) 权点向 \([1,i]\) 中的 \(1\) 点连边，根据上面的结论，对于某个 \(l,r\)，只有 \([l,r)\) 中 \(h\) 的最小值（设为 \(h_x\)）是有用的，其他边连上也没事，而显然在考虑 \(x\) 的贡献时，已经连了 \(l,r\) 之间的边，因此最短路跑出来依然是对的。考虑优化，注意到每次都是某个前缀向后缀，或者后缀向前缀连边，因此考虑前后缀优化建图，具体来说建立四排点——前缀 in，前缀 out，后缀 in，后缀 out，然后随便瞎连连即可，具体见代码。
时间复杂度 \(\mathcal O(Tm\log m)\)，然鹅常数非常大，直接上天……
const int MAXN=5e4;
const int MAXK=2e4;
const int LOG_N=16;
const int MAXV=6e5+1;
const int MAXE=1e7;
int n,m,k,S=6e5+1,ncnt;
int hd[MAXV+5],to[MAXE+5],nxt[MAXE+5],val[MAXE+5],ec=0;
void adde(int u,int v,int w){
// printf("%d %d %d\n",u,v,w);
to[++ec]=v;val[ec]=w;nxt[ec]=hd[u];hd[u]=ec;
}
struct edge{int a,b,c,d;} e[MAXN+5];
vector<int> in[MAXN+5],out[MAXN+5],g[MAXK+5];
int dfn[MAXK+5],fa[MAXK+5][LOG_N+2],dep[MAXK+5],tim=0;
void dfs(int x=1,int f=0){
dfn[x]=++tim;fa[x][0]=f;
for(int y:g[x]) dep[y]=dep[x]+1,dfs(y,x);
}
int getlca(int x,int y){
if(dep[x]<dep[y]) x^=y^=x^=y;
for(int i=LOG_N;~i;i--) if(dep[x]-(1<<i)>=dep[y]) x=fa[x][i];
if(x==y) return x;
for(int i=LOG_N;~i;i--) if(fa[x][i]^fa[y][i]) x=fa[x][i],y=fa[y][i];
return fa[x][0];
}
bool cmp(pii x,pii y){return dfn[x.fi]<dfn[y.fi];}
ll dis[MAXV+5],ans[MAXN+5];
void clear(){
S=6e5+1;ncnt=0;memset(hd,0,sizeof(hd));ec=0;
memset(dfn,0,sizeof(dfn));memset(fa,0,sizeof(fa));
memset(dep,0,sizeof(dep));tim=0;
memset(dis,63,sizeof(dis));memset(ans,63,sizeof(ans));
for(int i=1;i<=MAXN;i++) in[i].clear(),out[i].clear();
for(int i=1;i<=MAXK;i++) g[i].clear();
}
void solve(){
scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);clear();ncnt=m<<1;
for(int i=1;i<=m;i++){
scanf("%d%d%d%d",&e[i].a,&e[i].b,&e[i].c,&e[i].d);
out[e[i].a].pb(i);in[e[i].b].pb(i);
}
for(int i=1,u,v;i<k;i++) scanf("%d%d%*d",&u,&v),g[u].pb(v);dfs(1,0);
for(int i=1;i<=LOG_N;i++) for(int j=1;j<=k;j++) fa[j][i]=fa[fa[j][i-1]][i-1];
for(int i=1;i<=m;i++) adde(i,i+m,e[i].c);
for(int i=1;i<=m;i++) if(e[i].a==1) adde(S,i,0);
for(int i=1;i<=n;i++){
vector<pii> ed;
for(int x:in[i]) ed.pb(mp(e[x].d,x+m));
for(int x:out[i]) ed.pb(mp(e[x].d,x));
sort(ed.begin(),ed.end(),cmp);
vector<int> h(ed.size(),0);
vector<int> pre_in(ed.size(),0),pre_out(ed.size(),0);
vector<int> suf_in(ed.size(),0),suf_out(ed.size(),0);
for(int j=0;j+1<ed.size();j++) h[j]=dep[getlca(ed[j].fi,ed[j+1].fi)];
// printf("node %d\n",i);
// for(int j=0;j<ed.size();j++) printf("pts %d %d\n",ed[j].fi,ed[j].se);
// for(int j=0;j+1<ed.size();j++) printf("%d\n",h[j]);
for(int j=0;j<ed.size();j++) pre_in[j]=++ncnt;
for(int j=0;j<ed.size();j++) pre_out[j]=++ncnt;
for(int j=0;j<ed.size();j++) suf_in[j]=++ncnt;
for(int j=0;j<ed.size();j++) suf_out[j]=++ncnt;
for(int j=0;j+1<ed.size();j++) adde(pre_in[j+1],pre_in[j],0);
for(int j=0;j+1<ed.size();j++) adde(pre_out[j],pre_out[j+1],0);
for(int j=0;j+1<ed.size();j++) adde(suf_in[j],suf_in[j+1],0);
for(int j=0;j+1<ed.size();j++) adde(suf_out[j+1],suf_out[j],0);
for(int j=0;j<ed.size();j++){
if(ed[j].se<=m) adde(suf_in[j],ed[j].se,0),adde(pre_in[j],ed[j].se,0);
else adde(ed[j].se,suf_out[j],0),adde(ed[j].se,pre_out[j],0);
}
for(int j=0;j+1<ed.size();j++){
adde(suf_out[j+1],pre_in[j],h[j]);
adde(pre_out[j],suf_in[j+1],h[j]);
}
} memset(dis,63,sizeof(dis));memset(ans,63,sizeof(ans));
priority_queue<pii,vector<pii>,greater<pii> > q;
q.push(mp(dis[S]=0,S));
while(!q.empty()){
pii p=q.top();q.pop();
int sum=p.fi,x=p.se;
if(dis[x]<sum) continue;
for(int e=hd[x];e;e=nxt[e]){
int y=to[e],z=val[e];
if(dis[y]>dis[x]+z) q.push(mp(dis[y]=dis[x]+z,y));
}
}
for(int i=1;i<=m;i++) chkmin(ans[e[i].b],dis[i+m]);
for(int i=2;i<=n;i++) printf("%lld\n",ans[i]);
}
int main(){int qu;scanf("%d",&qu);while(qu--) solve();return 0;}
