自然溢出哈希 hack 方法

今天不知道在什么地方看到这个东西，感觉挺有意思的，故作文以记之（

当 $base$ 为偶数时，随便造一个长度 $>64$ 的字符串，只要它们后 $64$ 位相同那么俩字符串的哈希值就相同，直接就卡掉了。

当 $base$ 为奇数时，对于一个只有 $\text{a}$ 和 $\text{b}$ 组成的字符串 $s$，我们定义 $\bar{s}$ 为将 $s$ 中所有 $\text{a}$ 变为 $\text{b}$，$\text{b}$ 变为 $\text{a}$ 的结果，然后我们构造 $s_1="\text{a}",s_i=s_{i-1}+\overline{s_{i-1}}$，再定义 $\text{hash}(s)$ 为字符串 $s$ 的哈希值。那么显然有 $\text{hash}(s_i)=\text{hash}(s_{i-1})\times base^{2^{i-2}}+\text{hash}(\overline{s_{i-1}}),\text{hash}(\overline{s_i})=\text{hash}(\overline{s_{i-1}})\times base^{2^{i-2}}+\text{hash}(s_{i-1})$，二者相减发现刚好可以表示为 $\text{hash}(s_i)-\text{hash}(\overline{s_i})$ 的形式。于是我们记一个 $f_i=\text{hash}(s_i)-\text{hash}(\overline{s_i})$，那么 $f_i=f_{i-1}\times(base^{2^{i-2}}-1)$，而 $base^{2^{x}}-1=(base^{2^{x-1}}+1)(base^{2^{x-2}}+1)\cdots(base+1)(base-1)$，由 $2\nmid base$ 知这 $x$ 个括号里的东西全是偶数，故 $2^{x+1}\mid base^{2^x}-1$，于是 $2^{i(i-1)/2}\mid f_i$，故对于 $i\ge 12$，$\text{hash}(s_i)=\text{hash}(\overline{s_i})$，构造一个长度 $4096$ 的字符串即可叉掉。

这个故事告诉我们，以后千万不要写自然溢出哈希了