Codeforces 793G - Oleg and chess（网络流+优化建图）

很 trivial 的一道题，评到 3400 非常不理解。

首先一眼二分图匹配，关键点在于建图。显然需要数据结构优化，关键是怎么个优化法，很 trivial 的想法是考虑每一行，将极长的白格对应的连边用线段树优化掉，但是这样显然是不行的，因为一个黑白交错的图就可以把它卡成 $n^2$。

考虑借鉴二维矩形扫描线的思想。做二维矩形问题应用很多的一个思想是“继承”，也就是说我们从上到下扫过去的过程，相当于每次给一个区间覆盖次数 +1 或者 -1，这样均摊是 $O(1)$，而在线段树上进行区间操作的时候，大部分节点被覆盖和不被覆盖的状态是不变的，因此考虑类似于动态开点的思想，每次对一个区间进行操作的时候，就新建一个这个节点的版本，如果并考虑左右儿子，如果它们上面没有 tag 就向它们连边，然后叶子节点对应的点则是二分图右部每个点，这样点数显然是 $n\log n$ 的，苟一波最大流就能过了。

实现可以看代码：

const int MAXN=1e4;
const int MAXV=1e6+2;
const int MAXE=1e7;
const int INF=0x3f3f3f3f;
int n,m;vector<tuple<int,int,int> >vec[MAXN+5];
namespace Maxflow{
	int S=1000001,T=1000002,hd[MAXV+5],to[MAXE+5],nxt[MAXE+5],cap[MAXE+5],ec=1;
	void adde(int u,int v,int f){
		to[++ec]=v;cap[ec]=f;nxt[ec]=hd[u];hd[u]=ec;
		to[++ec]=u;cap[ec]=0;nxt[ec]=hd[v];hd[v]=ec;
	}
	int dep[MAXV+5],now[MAXV+5];
	bool getdep(){
		memset(dep,-1,sizeof(dep));queue<int>q;dep[S]=0;q.push(S);
		while(!q.empty()){
			int x=q.front();q.pop();now[x]=hd[x];
			for(int e=hd[x];e;e=nxt[e]){
				int y=to[e],z=cap[e];
				if(z&&!~dep[y])dep[y]=dep[x]+1,q.push(y);
			}
		}return ~dep[T];
	}
	int getflow(int x,int f){
		if(x==T)return f;int ret=0;
		for(int &e=now[x];e;e=nxt[e]){
			int y=to[e],z=cap[e];
			if(z&&dep[y]==dep[x]+1){
				int w=getflow(y,min(f-ret,z));
				cap[e]-=w;cap[e^1]+=w;ret+=w;
				if(f==ret)return ret;
			}
		}return ret;
	}
	int dinic(){
		int ret=0;
		while(getdep())ret+=getflow(S,INF);
		return ret;
	}
}using namespace Maxflow;
int ncnt,id[MAXN*4+5],tag[MAXN*4+5];
void pushup(int k){
	id[k]=++ncnt;
	if(!tag[k<<1])adde(id[k],id[k<<1],INF);
	if(!tag[k<<1|1])adde(id[k],id[k<<1|1],INF);
}
void build(int k,int l,int r){
	if(l==r)return id[k]=l+n,void();int mid=l+r>>1;
	build(k<<1,l,mid);build(k<<1|1,mid+1,r);pushup(k);
}
void modify(int k,int l,int r,int ql,int qr,int v){
	if(ql<=l&&r<=qr)return tag[k]+=v,void();
	int mid=l+r>>1;
	if(qr<=mid)modify(k<<1,l,mid,ql,qr,v);
	else if(ql>mid)modify(k<<1|1,mid+1,r,ql,qr,v);
	else modify(k<<1,l,mid,ql,mid,v),modify(k<<1|1,mid+1,r,mid+1,qr,v);
	pushup(k);
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1,x1,y1,x2,y2;i<=m;i++){
		scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2);
		vec[x1].pb(mt(y1,y2,1));vec[x2+1].pb(mt(y1,y2,-1));
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)adde(S,i,1),adde(i+n,T,1);
	ncnt=n<<1;build(1,1,n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(auto t:vec[i])
			modify(1,1,n,get<0>(t),get<1>(t),get<2>(t));
		if(!tag[1])adde(i,id[1],INF);
	}printf("%d\n",dinic());
	return 0;
}