抽象代数（环论）复习笔记

前提情要：博主写这篇博客仅仅是为了加深对知识点的印象，如果读者仅仅是为了了解抽代学习内容的话建议出门左拐魏老师的 https://www.cnblogs.com/alex-wei/p/18194469/Abstract_Algebra_Ring_Theory， 因为本博客在创作过程中很大程度上借鉴了那篇博客。

1. 环

1.1 环的基本定义（chapter 7.1）

一个环由一个集合 $R$ 与两种二元运算 $+$ 和 $\times$ 组成，满足：

1. $(R,+)$ 构成了一阿贝尔群。
2. $\times$ 满足结合律，即 $\forall a,b,c\in R$，$a\times(b\times c)=(a\times b)\times c$。
3. 乘法对加法的分配律成立，即 $\forall a,b,c\in R$，$a\times(b+c)=(a\times b)+(a\times c)$。

习惯把加法单位元写作 $0$，乘号一般省略不写。

在此基础上：

• 如果乘法满足交换律，则称该环为交换环。
• 如果存在 $1\in R$ 满足 $\forall x\in R$，$1x=x1=x$，那么称该环为含幺环。
• 如果 $R$ 是含幺环并且每个元素都有乘法逆元，则称该环为除环。
• 如果 $R$ 中不含零因子（零因子的定义：若非零元素 $a,b$ 满足 $ab=0$，则 $a,b$ 均为 $R$ 的零因子）且为交换环，那么称 $R$ 为整环。
• 如果 $R$ 既是交换环又是除环，则称 $R$ 是为域。

有限整环一定是域。（定理 7.3）

一个非零元素 $x\in R$ 被称为 $x$ 的一个单位当且仅当存在 $y\in R$ 使得 $xy=1$。

1.2 几类特殊环

1.2.1 二次整数环（chapter 7.1）

给定一不含平方因子的整数 $D$，那么所有形如 $a+b\sqrt{D}(a,b\in\mathbb{Z})$ 的数在加法和乘法意义下构成一个环 $\mathbb{Z}[\sqrt{D}]$，同理定义 $\mathbb{Q}(\sqrt{D})$。其中后者是域。

如果 $D\equiv 1\pmod{4}$，那么 $\mathbb{Z}[\dfrac{1+\sqrt{D}}{2}]=\{a+b·\dfrac{1+\sqrt{D}}{2}|a,b\in\mathbb{Z}\}$ 也是环。

1.2.2 多项式环（chapter 7.2）

给定一交换环 $R$，称由所有形如 $a_nx^n+a_{n-1}x^n+\cdots+a_1x+a_0(n\ge 0,a_i\in R)$ 的形式幂级数组成的环为多项式环 $R[x]$，其中 $n$ 为多项式的度数。若 $a_n=1$ 则称该多项式为首一的。

如果 $R$ 是整环，那么 $R[x]$ 也是整环，并且两个多项式乘积的度数就是这两个多项式度数之和。（定理 7.4）

1.2.3 矩阵环（chapter 7.2）

给定一环 $R$ 和正整数 $n$，那么定义 $M_n(R)$ 为所有 $n\times n$ 且每个元素都属于 $R$ 的矩阵组成的环。

若 $n\ge 2$，那么 $M_n(R)$ 一定不是交换环，并且含有零因子。

1.2.4 群环（chapter 7.2）

对于含幺环 $R$ 和有限群 $G=\{g_1,g_2,\cdots,g_n\}$，定义群环 $RG$ 为所有形如 $r_1g_1+r_2g_2+\cdots+r_ng_n(r_i\in R)$ 的式子组成的集合。其中加法定义为对应项相加，乘法根据 $(ag_i)(bg_j)=(ab)(g_ig_j)$ 展开后合并同类项。

若 $|G|>1$，则 $RG$ 中一定含有零因子。

1.2.5 分式环、分式域（chapter 7.5）

对于交换环 $R$ 和任意不含 $0$ 和零因子，且乘法封闭的子集 $D$，则存在交换环 $Q$，满足 $D$ 中每个元素都是 $Q$ 的单位，并且：

• $Q$ 中每个元素都可以表示为 $rd^{-1}$ 的形式。
• $Q$ 是符合上述条件的环中“最小”的，即所有满足上述条件的环都包含 $Q$。

称这样的 $Q$ 为 $D$ 关于 $R$ 的分式环。特别地，如果 $R$ 是整环，$D=R-\{0\}$，那么 $Q$ 是域，称这样的 $Q$ 为 $R$ 的分式域。

2. 同态、同构与理想

2.1 同态与同构（chapter 7.3）

对于两个环 $R,S$，定义 $R\to S$ 的环同态为一 $R\to S$ 的映射 $\varphi$ 满足 $\forall x,y\in R$：

• $\varphi(xy)=\varphi(x)\varphi(y)$
• $\varphi(x+y)\varphi(x)+\varphi(y)$

如果 $\varphi$ 是双射，则称 $\varphi$ 为 $R\to S$ 的环同构。记环同态的核 $\ker\varphi=\varphi^{-1}(0)$。

2.2 理想与商环的定义（chapter 7.3）

类比群的“正规子群”，我们也可以引入“理想”的概念。

对于环 $R$ 的子环 $I$，定义 $rI=\{ra|a\in I\},Ir=\{ar|a\in I\}$。如果 $\forall r\in I$，$rI\sube I$，那么称 $I$ 为 $R$ 的左理想。同理定义右理想。如果 $I$ 既是 $R$ 的左理想又是 $R$ 的右理想，那么称 $I$ 为 $R$ 的理想。

若 $I$ 是 $R$ 的理想，那么定义商环 $R/I$ 为 $I$ 在加法意义下所有陪集组成的环，满足 $(r+I)+(s+I)=(r+s)+I$，$(r+I)(s+I)=(rs)+I$。

如果以上两个运算都是良定义的，那么 $I$ 为 $R$ 的理想，并且商环 $R/I$ 存在（定理 7.6）

类比群同态的核是正规子群这一性质，我们也可以证明：

对任一 $R\to S$ 的同态 $\varphi$，$\ker\varphi$ 在加法、乘法意义下均封闭，并且 $\forall x\in \ker\varphi,r\in R$，$xr,rx\in\ker\varphi$，进而 $\ker\varphi$ 是 $R$ 的理想（定理 7.5）

对两个理想 $I,J$，可以定义它们的加法与积：

• $I+J$ 为 $\{a+b|a\in I,b\in J\}$，$I+J$ 为同时包含 $I,J$ 的最小理想。
• $IJ$ 为所有由有限个 $ab$ 形式的元素相加得到的元素组成的集合，其中 $a\in I,b\in J$（与子群积的定义不同，因为子群积并不一定是加法封闭的，而 $IJ$ 一定是加法封闭的）。$IJ$ 为一包含于 $I\cap J$ 的理想（但不一定恰好是 $I\cap J$，就正如一个理想的平方不一定是自身）。

2.3 环的四大同构定理（chapter 7.3）

类比群的四大同构定理，我们也可以得到环的四大同构定理：

• 环的第一同构定理：对于环同构 $R\to S$，$R/\ker\varphi\cong\varphi(R)$。
• 环的第二同构定理：对于 $R$ 的子环 $A$ 和理想 $B$，$A+B$ 是 $R$ 的子环，$A\cap B$ 是 $R$ 的理想且 $(A+B)/B\cong A/(A\cap B)$。
• 环的第三同构定理：若 $I,J$ 为环 $R$ 的理想且 $I\sube J$，则 $J/I$ 是 $R/I$ 的理想且 $(R/I)/(J/I)\cong(R/J)$。
• 环的第四同构定理：对于环 $R$ 的理想 $I$，所有满足 $I\sube A$ 的子环 $A$ 与 $R/I$ 的所有子环之间存在双射。

2.4 理想的性质、极大理想与素理想（chapter 7.4）

2.4.1 域和理想

（定理 7.9）

对于含幺环 $R$ 的一个理想 $I$ 而言：

1. 如果 $I$ 中存在 $R$ 的单位，则 $I=R$。
2. 交换环 $R$ 是一个域当且仅当只有 $0$ 和 $R$ 两个理想。

根据这个定理可以得到如下推论：

域 $R$ 到任何环的非零同态都是单射（推论 7.10）

2.4.2 生成理想

对于环 $R$ 的子集 $A$，定义由 $A$ 生成的理想为包含 $A$ 的最小的理想，记作 $(A)$。特别地，由一个元素生成的理想被称为主理想。可以被大小有限的子集生成的理想被称为有限生成理想。

记 $RA$ 为所有能够表示成有限个 $ra$ 相加的元素组成的集合，其中 $r\in R,a\in A$，类似地定义 $AR,RAR$。那么由 $A$ 生成的左理想就是 $RA$，同理由 $A$ 生成的右理想就是 $AR$，由 $A$ 生成的理想就是 $RAR$。如果 $R$ 是交换环那么这三者相等。

2.4.3 极大理想与素理想

定义环 $R$ 的理想 $M$ 是极大的，当且仅当 $M\ne R$ 并且包含 $M$ 的理想只有其本身与 $R$。

环 $R$ 的理想 $M$ 是极大理想当且仅当 $R/M$ 是域（定理 7.12）

对于交换环 $R$ 而言，定义 $R$ 的理想 $P$ 是素理想，当且仅当 $\forall ab\in P$，要么 $a\in P$，要么 $b\in P$。

对于交换环 $R$ 而言，$P$ 是素理想当且仅当 $R/P$ 是整环（定理 7.13）

由于域一定是整环，因此我们可以得到如下推论：

交换环 $R$ 的所有极大理想都是素理想。（推论 7.14）

2.5 中国剩余定理（chapter 7.6）

对环 $R$ 而言，称其两个理想 $A,B$ 是互素的，当且仅当 $A+B=R$。

中国剩余定理的内容：对于 $R$ 的 $k$ 个两两互素的理想 $A_1,A_2,\cdots,A_k$，考虑映射 $\varphi:R\to(R/A_1)\times(R/A_2)\times\cdots\times(R/A_k)$，$\varphi(x)=(x+A_1,x+A_2,\cdots,x+A_k)$，那么 $\varphi$ 是满射，并且 $R/(A_1A_2\cdots A_k)=R/(A_1\cap A_2\cap\cdots\cap A_k)\cong (R/A_1)\times(R/A_2)\times\cdots(R/A_k)$。（定理 7.17）

这个定理的特殊形式就是解同余方程组。

3. 三类特殊整环（chapter 8）

3.1 欧几里得整环

对交换环 $R$ 而言，定义 $R$ 上的范数为一个 $R\to\mathbb{Z}^+\cup\{0\}$ 的映射，满足 $N(0)=0$，即给每个元素赋予一个非负整数的值。

定义 $R$ 是一个欧几里得整环，当且仅当存在一个 $R$ 上的范数 $N$，使得 $\forall a,b\in R$ 都存在 $q,r\in R$ 使得 $a=bq+r$，并且 $r=0$ 或 $N(r)<N(b)$。换句话说，$R$ 上能够进行带余除法，从而可以进行欧几里得算法：

$$a=q_0b+r_0\\ b=q_1r_0+r_1\\ r_0=q_2r_1+r_2\\ \vdots\\ r_{n-2}=q_nr_{n-1}+r_{n}\\ r_{n-1}=q_nr_n$$

进而能够求出任意两个元素的最大公因子。

常见欧几里得整环的例子：

• 所有的域都是欧几里得整环。
• 若 $F$ 是域，那么 $F[x]$ 是欧几里得整环。
• 高斯整数环 $\mathbb{Z}[i]$ 的欧几里得整环。

欧几里得整环 $R$ 的任意理想都是主理想。即对于任意理想 $I$，设 $d$ 是 $I$ 中范数最小的元素之一，那么 $I=(d)$（定理 8.1）

这个定理直接说明了所有欧几里得整环都是主理想整环。根据这个性质也可以说明 $\mathbb{Z}[x]$ 不是欧几里得整环，因为 $(x,2)$ 不是主理想。

与欧几里得整环直接相关的就是最大公因子。对两个元素 $a,b$ 而言，定义 $d$ 是它们的最大公因子，当且仅当 $d\mid a,d\mid b$，并且对所有满足 $d'\mid a,d'\mid b$ 的 $d'$，都有 $d'\mid d$。事实上，对于任意交换环我们都有一个判定 $d$ 是否为 $a,b$ 的最大公因子的办法：

对于交换环 $R$ 中的两个非零元素 $a,b$，并且 $(a,b)=(d)$，那么 $d$ 是 $a,b$ 的最大公因子。（定理 8.2）

注意，这里的 $d$ 不一定唯一。但是事实上对于同一对元素的任意两个最大公因子，都有如下性质：

若 $R$ 是整环，$d,d'\in R$，如果 $(d)=(d')$，那么存在某个单位 $u$ 满足 $d'=ud$。特别地，如果 $d,d'$ 都是某对元素 $a,b$ 的最大公因子，那么 $d'=ud$。（定理 8.3）

既然欧几里得整环可以进行欧几里得算法，而裴蜀定理的证明刚好可以由欧几里得算法直接得到，因此裴蜀定理在欧几里得整环上也成立。

对于欧几里得整环上的任意两个元素 $a,b$，设 $d=r_n$ 为对 $a,b$ 执行欧几里得算法以后最后一个非零余数，那么

1. $d=\gcd(a,b)$
2. $\exists x,y\in R$ 满足 $ax+by=d$。

（定理 8.4）

根据这个性质可知，对于欧几里得整环中两个元素 $a,b$，$ax+by=n$ 有解当且仅当 $d\mid n$，其中 $d$ 为 $a,b$ 的最大公因数。

3.2 主理想整环

定义一个整环 $R$ 是主理想整环，当且仅当其每个理想都是主理想。根据欧几里得整环的性质可知欧几里得整环都是主理想整环。

主理想整环较差于欧几里得整环的地方在于，没法进行带余除法，进而无法用辗转相除法快速求出两个元素的最大公因数。但最大公因数在主理想整环中依旧是良定义的，因此上文中的定理 8.4 在主理想整环中也成立。

除此之外主理想整环还有如下性质：

主理想中的素理想都是极大理想。（定理 8.7）

若交换环 $R$ 满足 $R[x]$ 是主理想整环，那么 $R$ 是域。（定理 8.8）

因为对任意域 $F$，$F[x]$ 为欧几里得整环，因此不存在是主理想整环但不是欧几里得整环的 $R[x]$。

3.3 唯一分解整环

在欧几里得整环中因为我们是基于带余除法的角度求两个元素的最大公因数。但在整数环中，还有一种求最大公因数的方式则是将每个元素分解为“不可以分解”的元素之后，找它们的公共部分。唯一分解整环则是基于这种思想。

对于整环 $R$ 给出如下定义：

1. 对于非零且不是单位的元素 $r$，定义其是不可约元当且仅当 $\forall ab=r$，$a,b$ 之一是单位。
2. 对于非零元素 $p$，定义其是素元当且仅当 $(p)$ 是素理想。
3. 称两个元素 $a,b$ 相伴当且仅当存在某个单位 $u$ 使得 $a=bu$。

整环 $R$ 是唯一分解整环，当且仅当对每个非零单位元素 $r$ 都存在不可约元 $p_1,p_2,\cdots,p_n$，使得：

1. $r=p_1p_2\cdots p_n$。
2. 该分解在相伴意义下唯一。

根据不可约元和素元的定义可知：

对任意整环而言，所有素元都是不可约元（定理 8.10）

其逆命题并不对所有整环都成立。例如在 $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ 中，$9=3·3=(2+\sqrt{-5})(2-\sqrt{-5})$，这样 $3$ 是不可约元但不是素元。

然而在主理想环中，有

主理想环中素元和不可约元等价。（定理 8.11）

事实上这个定理在唯一分解整环中也是成立的（定理 8.12），这是唯一分解整环的重要性质之一。并且主理想整环一定是唯一分解整环（定理 8.14）

正如前文所说，唯一分解整环的另一性质则是可以直接从分解式中求最大公因数。

设 $R$ 是唯一分解整环，$a,b\in R$，且 $a=up_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_n^{e_n}$，$b=vp_1^{f_1}p_2^{f_2}\cdots p_n^{f_n}$，其中 $u,v$ 是单位，$p_1,p_2,\cdots,p_n$ 都是不可约元，则 $a,b$ 的最大公因数为 $p_1^{\min(e_1,f_1)}p_2^{\min(e_2,f_2)}\cdots p_n^{\min(e_n,f_n)}$。（定理 8.13）

3.4 几类整环空间尺度的比较

将所学过的所有特殊环按照空间尺度从小到大排序，可以总结为：

$$\text{Fields}\sub\text{ED}\sub\text{PID}\sub\text{UFD}\sub\text{Integral Domains}$$

其中每一个包含关系都是真包含，因为：

• $\mathbb{Z}$ 是 ED 但不是域。
• $\mathbb{Z}[\dfrac{1+\sqrt{-19}}{2}]$ 是 PID 但不是 ED。
• $\mathbb{Z}[x]$ 是 UFD 但不是 PID。
• $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ 是整环但不是 UFD。

4. 多项式环与多项式既约性（chapter 9）

4.1 多项式环基本性质（chapter 9.1, 9.2）

对于整环 $R$ 而言：

1. $\deg p(x)q(x)=\deg p(x)+\deg q(x)$，其中 $p(x),q(x)$ 是 $R[x]$ 中的非零多项式。
2. $R[x]$ 中的单位刚好是 $R$ 中的单位。
3. $R[x]$ 是整环。

（定理 9.1）

该性质在 chapter 7 中出现过。

设环 $R$ 存在理想 $I$，那么 $R[x]/(I)\cong(R/I)[x]$，其中 $(I)=I[x]$。特别地，如果 $I$ 是 $R$ 的素理想，那么 $(I)$ 是 $R[x]$ 的素理想。（定理 9.2）

如果 $F$ 是域，那么对于任意两个 $F[x]$ 中的多项式，我们总可以依次消去度数较大者的最高次项使其度数比另一者小，因此

如果 $F$ 是域，那么 $F[x]$ 是欧几里得整环（定理 9.3），进而也是主理想整环，唯一分解整环（定理 9.4）

4.2 高斯引理（chapter 9.3）

设 $F$ 是环 $R$ 的分式域，$p(x)\in R[x]$，若 $p(x)$ 在 $F[x]$ 上可约，则其在 $R[x]$ 上可约。（定理 9.5）

该定理有如下推论：

设 $F$ 是唯一分解整环 $R$ 的分式域，$p(x)\in R[x]$ 为本原多项式，那 $p(x)$ 在 $R[x]$ 中可约当且仅当其在 $F[x]$ 中可约（定理 9.6）

因为 $F$ 是域，因此使用高斯引理，我们可以将多项式在性质比较一般的 $R[x]$ 中的既约性转化为性质比较好的 $F[x]$ 中的可约性。

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$R$ 是唯一分解整环当且仅当 $R[x]$ 是唯一分解整环。（定理 9.7）

4.3 多项式既约性的判定（chapter 9.4）

检验一个多项式是否是既约的往往是多项式环理论中比较困难的问题，但结合以下定理和上文中的高斯引理往往能使问题变简单许多。

第一种思想是检验多项式是否存在一阶因式，而下面定理告诉我们检验一阶因式等价于检验是否有根：

对于域 $F$ 和 $p(x)\in F[x]$，$p(x)$ 存在一阶因式当且仅当 $p(x)$ 在 $F$ 上有根。（定理 9.9）

由于可约的 $2,3$ 阶多项式必然有一阶因式，因此根据这个定理我们可以得出 $2,3$ 阶多项式是既约多项式的判据：

设 $F$ 是域，$F[x]$ 中的 $2,3$ 阶多项式是可约多项式当且仅当其在 $F$ 上有根。（定理 9.10）

直接用求根公式检验根是否在 $F$ 中是困难的，因此我们需要下面的定理：

设 $p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0\in\mathbb{Z}[x]$，若 $\dfrac{r}{s}$ 是 $p(x)$ 的根，其中 $r,s$ 都是整数且 $(r,s)=1$，那么 $r\mid a_0,s\mid a_n$。特别地，如果 $p(x)$ 为首一多项式，那么 $p(x)$ 在 $\mathbb{Q}$ 中所有的根都是 $a_0$ 的因数。（定理 9.11）

这个定理可以推广到任意唯一分解整环的多项式环。

第二种思想则是将多项式系数所在的环缩小，如果缩小之后仍然既约那原多项式也是既约，这就是如下的定理

设 $I$ 是 $R$ 的真理想且 $p(x)\in R[x]$ 是度数 $\ge 1$ 的首一多项式，那 $p(x)$ 在 $R[x]$ 中是既约多项式当且仅当 $p(x)$ 在 $(R/I)[x]$ 中的像无法被分解为两个度数更小的多项式（定理 9.12）

上述定理的一个特例则是爱森斯坦判据，也是最重要的判断多项式既约性的手段之一。

（爱森斯坦判据）设整环 $R$ 存在素理想 $P$，$f(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0\in R[x]$。如果 $a_{n-1},a_{n-2},\cdots,a_1$ 都属于 $P$，但 $a_0\notin P^2$，那 $f(x)$ 在 $R[x]$ 中既约。（定理 9.13）