抽象代数(群论)复习笔记
谨以此文,悼念我炸裂的危寄分欸二期中考试。下次不仅要带一个脑子做题,还得带一个脑子盯着它做题,不然第一个脑子容易跑偏刹不住车。得去黑市看一眼最近脑子市价如何,如果太贵还得卖点东西凑一凑。
1. 群
1.1 群的定义
群,是一个由一个集合 \(G\) 和一种 \(G\) 上的二元运算 \(\times\)(在实际表达中我们往往省略乘号不写)组成的二元组 \((G,\times)\),并且满足以下三个条件:
- 存在一个特殊元素 \(e\)(也可以写作 \(1\))满足 \(\forall x\in G\),\(ex=xe=x\)。
- 对于群中每个元素 \(a\) 都存在某个 \(a^{-1}\in G\) 使得 \(aa^{-1}=a^{-1}a=1\)。
- \(\times\) 满足结合律,即 \(\forall a,b,c\in G\),\((ab)c=(ab)c\)。
如果 \(\times\) 运算满足交换律,即 \(\forall x,y\in G\),\(xy=yx\),那么又称 \(G\) 是一个阿贝尔群。
群有一些基本性质:
- 单位元、每个元素的逆元均唯一。
- \((a^{-1})^{-1}=a\)。
- \((ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}\)。
1.2 与群相关的其他基本定义
-
阶:对于一个元素 \(x\in G\) 而言,定义其阶为最小的正整数 \(n\) 满足 \(x^n=1\),如果不存在则认为是 \(+\infty\)。
-
子群:对于一个群 \(G\) 而言,定义 \(H\) 是 \(G\) 的子群,当且仅当 \(H\subseteq G\),并且满足以下两个条件:
- \(H\) 非空(这点很容易被忽视,只有有了单位元才能称得上群)
- \(\forall x,y\in H\),都有 \(xy^{-1}\in H\)
特别地,如果 \(H\) 大小有限,那么这等价于检验是否对于所有 \(x,y\in H\),都有 \(xy\in H\)。
记作 \(H\le G\)。
-
生成元:称一个群 \(G\) 能被一个集合 \(S\) 中的元素生成,当且仅当 \(G\) 中每个元素都能由 \(S\) 中的元素和它们的逆元进行有限次乘法得到。写作 \(G=\lang S\rang\)。其中 \(S\) 的元素被称为 \(G\) 的生成元。
2. 特殊群
2.1 与数有关的群
- \(\mathbb{R},\mathbb{Q},\mathbb{Z},\mathbb{C}\),实数、有理数、整数、复数在加法意义下的群。
- \(GL_n(\mathbb{R})\),\(n\times n\) 可逆实数矩阵组成的群。
- \(Z/nZ\)(亦写作 \(Z_n\))\(\bmod n\) 意义下的剩余系在加法意义下的群。
- \((Z/nZ)^{\times}\) 与 \(n\) 互质的数在 \(\bmod n\) 乘法意义下的群
2.2 克莱因四元群
克莱因四元群 \(V_4\) 由 \(1,a,b,c\) 四个元素组成,单位元是 \(1\),除了单位元之外每个元素的阶都是 \(2\)。它的乘法表如下:
\ | \(1\) | \(a\) | \(b\) | \(c\) |
---|---|---|---|---|
\(1\) | \(1\) | \(a\) | \(b\) | \(c\) |
\(a\) | \(a\) | \(1\) | \(c\) | \(b\) |
\(b\) | \(b\) | \(c\) | \(1\) | \(a\) |
\(c\) | \(c\) | \(b\) | \(a\) | \(1\) |
可以证明,任意一个 \(4\) 阶群要么同构于 \(V_4\) 要么同构于 \(Z_4\),取决于群中存不存在阶为 \(4\) 的元素。
2.3 哈密尔顿四元数群
哈密尔顿四元数群 \(Q_8\) 由 \(8\) 个元素 \(\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\) 组成,满足:
-
\(i·i=j·j=k·k=-1\)
-
\(i·j=k,j·i=-k,,j·k=i,k·j=-i,k·i=j,i·k=-j\)
显然 \(Q_8\) 不是阿贝尔群。
2.4 二面体群
二面体群 \(D_{2n}\) 由 \(n\) 个元素 \(1,r,r^2,r^3,\cdots,r^{n-1},s,rs,r^2s,\cdots,r^{n-1}s\) 组成,并且满足 \(r^n=s^2=1\)。为什么说它是二面体群呢?因为这些操作可以看作是对空间中两个正 \(n\) 边形组成的二面体进行的操作,\(r\) 相当于将二面体沿着顺时针方向旋转 \(\dfrac{2\pi}{n}\) 之后的结果,\(s\) 相当于将二面体上下反转之后的结果。
二面体群不是阿贝尔群。容易证明二面体群 \(D_{2n}\) 的生成元满足以下性质:
- \(1,r,r^2,\cdots,r^{n-1}\) 互不相同并且 \(r^n=1\)
- \(s\ne r^j\) 对所有整数 \(z\) 都成立
- 对于 \([0,n-1]\) 中不同的 \(i,j\),\(sr^i\ne sr^j\)
- \(rs=sr^{-1},r^js=sr^{-j}\)。
2.5 循环群
称一个群 \(H\) 是循环群当且仅当 \(H\) 可以被一个元素 \(x\),即 \(H=\lang x\rang\)。其中 \(H\) 可以是有限群也可以是无限群。循环群一定是阿贝尔群。
循环群有以下性质:
- 如果 \(H=\lang x\rang\),那么 \(|H|=|x|\)。这条性质对有限群和无限群均成立。
- 对于循环群中的某个元素 \(x\),如果 \(x^n=x^m=1\),那么 \(x^{\gcd(n,m)}=1\)。
- 对于循环群中的某个元素 \(x\) 以及整数 \(a\ne 0\),如果 \(|x|=\infty\),那么 \(|x^a|=\infty\),否则 \(|x^a|=\dfrac{n}{\gcd(n,a)}\)。
2.6 对称群
对于一个大小为 \(n\) 的集合 \(\Omega\),记 \(S_{\Omega}\) 为所有 \(\Omega\to \Omega\) 的双射与复合运算构成的群。特别地,如果脚标上是一个正整数 \(n\),则默认 \(\Omega=\{1,2,3,\cdots,n\}\)。我们将这类群称为“对称群”。显然 \(|S_n|=n!\),且对于 \(n\ge 3\),\(S_n\) 都不是阿贝尔群。
在抽象代数中我们一般不直接将置换写成排列的形式,而一般用环表示,即将一个置换看作若干个不交的环的乘积。对于一个满足 \(\sigma(a_1)=a_2,\sigma(a_2)=a_3,\cdots,\sigma(a_m)=a_1\) 的环,将其记作 \((a_1a_2\cdots a_m)\)。将一个排列所有环并排列出来就得到了这个排列的环表示。
对称群的子群称作置换群。任何一个群都同构于某个置换群。
2.7 交错群
首先我们先需要知道怎么定义 \(S_n\) 中一个置换的奇偶性:考虑 \(n\) 个独立变量 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\),以及一个多项式 \(\Delta=\prod\limits_{1\le i<j\le n}(x_i-x_j)\)。对于一 \(\sigma\in S_n\),考虑 \(\sigma(\Delta)=\prod\limits_{1\le i<j\le n}(x_{\sigma(i)}-x_{\sigma(j)})\),如果 \(\Delta=\sigma(\Delta)\) 则称 \(\sigma\) 为奇置换,否则称 \(\sigma\) 为偶置换。一个等价的判定方式是 \(\sigma\) 是奇置换当且仅当其环表示中长度为偶数的环的个数是奇数。
在此基础上我们定义 \(A_n\) 为所有偶置换构成的群。更进一步地,考虑 \(\epsilon:S_n\to \{\pm 1\}\),满足 \(\epsilon(\sigma)=\begin{cases}+1&(\sigma(\Delta)=\Delta)\\-1&(\sigma(\Delta)=-\Delta)\end{cases}\),那么因为 \(\tau\sigma(\Delta)=\prod\limits_{1\le i\lt j\le n}(x_{\tau(\sigma(i))}-x_{\tau(\sigma(j))})=\epsilon(\sigma)\prod\limits_{1\le p\lt q\le n}(x_{\tau(p)}-x_{\tau(q)})=\epsilon(\sigma)\epsilon(\tau)\Delta\),故 \(\epsilon\) 可以看作是 \(S_n\) 到 \(Z_2\) 上的同态。这样可以很自然地定义 \(A_n\) 为该同态的核。根据这一点可知,对于 \(n\ge 2\) 而言有 \(A_n\unlhd S_n\) 且 \(|A_n|=\dfrac{n!}{2}\)。这一类群被称为交错群。
当 \(n\ge 5\) 时,\(A_n\) 都是单群,并且 \(S_n\) 只有 \(A_n\) 这一个非平凡正规子群。
3. 同态与同构相关
3.1 同态
对于两个群 \((G,\star)\) 和 \((H,\diamond)\),如果存在一个 \(G\to H\) 的映射 \(\varphi\) 满足 \(\forall x,y\in G\),\(\varphi(x\star y)=\varphi(x)\diamond\varphi(y)\),那么称 \(\varphi\) 为群 \(G\) 到群 \(H\) 的同态。
同态的核 \(\ker\varphi\) 定义为 \(1\) 的原像,即 \(\ker\varphi=\{g\in G|\varphi(g)=1\}\)。
若 \(\varphi:G\to H\) 为 \(G\) 到 \(H\) 的同态,那么可以证明以下几条性质成立:
- \(\varphi(1_G)=1_H\)
- \(\varphi(g^{-1})=\varphi(g)^{-1}\)
- \(\varphi(g^n)=\varphi(g)^n\)
- \(\ker\varphi\le G\)
- \(\text{im}(\varphi)=\varphi(G)\le H\)
3.2 同构
在上文同态的定义中,更进一步地,如果 \(\varphi\) 是双射,那么称 \(\varphi\) 为群 \(G\) 到群 \(H\) 的同构。如果存在 \(\varphi\) 使得 \(\varphi\) 为群 \(G\) 到群 \(H\) 的同构,那么称 \(G,H\) 是同构的,记作 \(G\cong H\)。
不难证明,如果 \(G\cong H\) 并且 \(\varphi\) 是 \(G\) 到 \(H\) 的同态,那么以下条件必然成立:
- \(|G|=|H|\)
- 两个群要么都是阿贝尔群要么都不是
- \(\forall x\in G, |x|=|\varphi(x)|\)
很容易发现,如果两个群同构,那么实际上两个群之间只有元素的表示不同,或者说,\(H\) 可以看作将 \(G\) 中元素重标号以后的结果,因此同构是一个非常强的性质。两个同构的群只用研究一个就可以知道另一个的性质。
3.3 四大同构定理
第一群同构定理
若 \(\varphi\) 是一个 \(G\to H\) 的同态,那么 \(\ker\varphi\) 是 \(G\) 的正规子群,并且 \(G/\ker\varphi\cong\varphi(G)\),
第一同构定理的意义在于,它揭示了满同构与商群的关系,即一个商群实际上就是其对应的满同构的像集组成的群,这样我们可以从某种程度上避开对“商群”这种由陪集组成的抽象的概念的讨论,转而去讨论像集这种相对具体的概念。
第二群同构定理
若 \(A,B\le G\),\(A\le N_G(B)\),那么 \(AB\le G\), \(A\cap B\unlhd A\),并且 \(AB/B\cong A/(A\cap B)\)。
第二群同构定理又被称为“菱形同构定理”,主要原因是将 \(A,B,AB,A\cap B\) 四者的格画出来之后,形状似一菱形。
第三群同构定理
若 \(H,K\unlhd G\),并且 \(H\le K\),那么 \(K/H\unlhd G/H\),并且 \((G/H)/(K/H)\cong G/K\)。
第四群同构定理
若 \(N\) 是 \(G\) 的正规子群,那么每个 \(G\) 的包含 \(N\) 的子群都与 \(G/N\) 的每个子群一一对应。具体来说,每个 \(\bar{G}=G/N\) 的子群 \(\bar{A}\) 都可以被写成 \(A/N\) 的形式,其中 \(A\le G,N\le A\),并且满足以下条件:
- \(A\le B\) 当且仅当 \(\bar{A}\le \bar{B}\)。
- 若 \(A\le B\),则 \(|B:A|=|\bar{B}:\bar{A}|\)。
- \(\bar{\lang A,B\rang}=\lang\bar{A},\bar{B}\rang\)。
- \(\bar{A\cap B}=\bar{A}\cap\bar{B}\)。
- \(A\unlhd G\) 当且仅当 \(\bar{A}\unlhd\bar{G}\)。
第四群同构定理又被称为“格定理”,主要原因是,它揭示了 \(G\) 的格中正规子群 \(N\) 上方的部分与 \(G/N\) 的格是完全一样的。
4. 商群和正规子群
4.1 中心化子和正规化子
- 中心化子:对于 \(G\) 的一个子集 \(S\),定义 \(S\) 在 \(G\) 中的中心化子 \(C_G(S)\) 是 \(G\) 中所有能与 \(S\) 中每一个元素交换的元素组成的集合,即 \(\{g|g\in G,ga=ag,\forall a\in S\}\)。
- 正规化子:对于 \(G\) 的一个子集 \(S\),定义 \(S\) 在 \(G\) 中的正规化子 \(N_G(S)\) 是满足 \(gSg^{-1}=S\) 的 \(g\) 组成的集合,其中 \(gSg^{-1}=\{gag^{-1}|a\in S\}\)。
- 中心:对于一个群 \(G\),定义其中心为能与 \(G\) 中所有元素交换的元素组成的集合,即 \(C_G(G)\),记作 \(Z(G)\)。
对于任意子集 \(S\) 而言,可以证明其中心化子和正规化子组成的集合都是 \(G\) 的子群,并且满足 \(Z(G)\le C_G(S)\le N_G(S)\)。
4.2 商群
关于商集,最原始的定义实际上是从同态入手的。
考虑 \(G\to H\) 的某个同态 \(\varphi\),对于 \(\varphi\) 像集中的某个元素 \(a\),我们定义这个点的 fiber 为满足 \(\varphi(x)=a\) 的 \(x\) 组成的集合,记作 \(X_a\),那么考虑由所有 \(X_a\) 组成的集合,并且定义 fiber 之间的乘法为 \(X_aX_b=X_{ab}\)。因为 \(\varphi\) 的像集 \(\text{im}(\varphi)\) 是 \(H\) 的一个子群,因此这个 \(X_a\) 组成的集合其存在单位元 \(X_1\)、逆元 \(X_{a^{-1}}\),并且满足结合律,故其构成了一个群。我们称这样的群为商群,记作 \(G/\ker\varphi\)。
但是这个定义显得有点抽象且不易理解。另一种比较直观的理解方式则是从“陪集”角度入手的。
考虑上文中所说的同态的核 \(K=\ker\varphi\),对于任意一个 \(a\in\text{im}(\varphi)\),令 \(X=\varphi^{-1}(a)\),我们发现如下两个性质成立:
- \(\forall u\in X,X=\{uk|k\in K\}=uK\)。
- \(\forall u\in X,X=\{ku|k\in K\}=Ku\)。
证明:显然两个命题是镜像的,故只证明(1)。令 \(u\in X\),那么 \(\varphi(u)=a\)。首先 \(\forall k\in K\), \(\varphi(uk)=\varphi(u)\varphi(k)=a\),故 \(uk\in X\),\(uK\subseteq X\)。另一方面,\(\forall g\in X\),\(k=u^{-1}g\) \(\varphi(k)=\varphi(u)^{-1}\varphi(g)=1\),\(k\in\ker\varphi\),\(g=uk\in uK\),\(X\subseteq uK\)。两者结合起来可以得到 \(uK=X\)。
我们称这样的 \(uK\) 为“左陪集”,\(Ku\) 为“右陪集”。这个性质告诉我们,上文中定义的“fiber”实际上和这个同态的核的左右陪集是等价的。也就是说,对于某个 fiber \(X_a\),我们可以将 \(X_a\) 看作任意一个 \(x\in X_a\) 关于 \(K\) 的左(右)陪集 \(xK\)。对于两个不同的陪集 \(aK,bK\),定义 \((aK)·(bK)=(ab)K\)。因为所有 fiber 构成了一个群,所以这个乘法也必然是良定义的,这些陪集与乘法运算也构成了一个群。这样我们就给出了商群更常用的定义。
我们希望这个定义更简洁一些,比方说把这个同态也省略了,因为实际上在上文中有关陪集的定义之下,有用的部分只有这个同态的核,知道了核以后也就知道所有左右陪集,也进而能定义这些陪集之间的乘法。因此我们很自然地有这样一个想法:仅仅给出一个 \(G\) 的子集 \(N\),然后用所有 \(gN\) 组成的集合来定义这个群是否可行呢?
不完全可行。显然,你任取一个 \(G\) 的子集,它甚至不一定是 \(G\) 的一个子群,这样得到的 \(gN\) 很可能是杂乱无章的,自然也没有什么性质可言。
那如果 \(N\) 是 \(G\) 的一个子群是否就能定义了呢?
首先,我们有这样的性质:如果 \(N\) 是 \(G\) 的一个子群,那么所有 \(gN\) 组成了 \(G\) 的一组划分,并且 \(uN=vN\) 当且仅当 \(u,v\) 在同一组划分里,也当且仅当 \(uv^{-1}\in N\)。
证明:因为 \(N\le G\), \(1\in N\),\(g=g·1\),所以 \(G=\cup_{g\in G}gN\)。进一步地,如果 \(uN\cap vN\ne\varnothing\),那么 \(\exists x\in uN\cap vN\),设 \(x=un=vm\),其中 \(n,m\in N\),那么 \(u=vmn^{-1}\),而 \(\forall ut\in uN\),\(ut=vmn^{-1}t\in vN\),故 \(uN\subseteq vN\)。类似地 \(vN\subseteq uN\),故 \(uN=vN\)。这样我们知道 \(uN=vN\Leftrightarrow u\in vN\Leftrightarrow v^{-1}u\in N\),得证。
但是我们还发现,如果 \(G=D_8\),\(N=\{1,s\}\),那么 \(1·r·N=\{r,rs\}\),\(s·r·N=\{r^3s,r^3\}\),但是 \(1,s\) 在同一个左陪集里。这意味着在这种情况下对于同样两个陪集,你选取不同的 \(u,v\),它们得到的 \((uv)N\) 可能不同!这样 \((uN)·(vN)\) 就不是良定义的。这意味着即便 \(N\) 是 \(G\) 的一个子群,\(N\) 的左陪集和右陪集都存在,也不一定能在左陪集的集合上定义乘法,进而不一定存在对应的商集。
4.3 正规子群
说了这么多,究竟什么样的 \(N\) 存在商集呢?事实上结论是这样的,对于 \(N\le G\),\(uN·vN=(uv)N\) 是良定义的当且仅当 \(gng^{-1}\in N\) 对一切 \(\forall g\in G,n\in N\) 都成立。
证明:假设乘法运算是良定义的,即 \(\forall u,v\in G\),如果 \(uu_1\in uN,vv_1\in vN\),那么 \(uvN=u_1v_1N\),那么考虑 \(\forall g\in G,\forall n\in N\),令 \(u=1,u_1=n,v=v_1=g^{-1}\),可得 \(1g^{-1}N=ng^{-1}N\),即 \(g^{-1}N=ng^{-1}N\),而因为 \(1\in N\), \(ng^{-1}\in ng^{-1}N=g^{-1}N\),故 \(ng^{-1}=g^{-1}n_1\),其中 \(n_1\in N\),这样有 \(gng^{-1}=n_1\in N\)。
另一方面,如果 \(gng^{-1}\in N\) 对所有 \(\forall g\in G,n\in N\) 都成立,那么令 \(u,u_1\in uN,v,v_1\in vN\),将 \(u_1\) 写成 \(un\) 的形式,\(v_1\) 写成 \(vm\) 的形式,其中 \(n,m\in N\),那么 \(u_1v_1=unvm=uvv^{-1}nvm=uv(n_1m)\),其中 \(n_1=v^{-1}nv\in N\),这样 \(u_1v_1\in uvN\),这个乘法运算就是良定义的。
将这样的子群 \(N\) 定义为 \(G\) 的正规子群,写作 \(N\unlhd G\)。容易证明 \(N\unlhd G\) 这个条件与以下五者都等价:
- \(N_G(N)=G\)。
- 对所有 \(g\in G\) 都有 \(gN=Ng\)。
- 对所有 \(\forall g\in G\) 都有 \(gNg^{-1}=N\)。
- 在 \(N\) 的陪集上定义的运算 \((aN)·(bN)=(ab)·N\) 是良定义的。
- 存在某个 \(G\to H\) 的同态 \(\varphi\) 使得 \(N\) 是 \(\varphi\) 的核。
正规子群不一定具有传递性,即 \(K\unlhd H,H\unlhd G\) 并不能推出 \(K\unlhd G\)。但是如果 \(K,H\unlhd G\),必然有 \(K\cap H\unlhd G\),即正规子群的交一定是正规子群。
说了这么多,实际上我们可以用这样一种直观的方式来理解商群:商群 \(G/N\) 将 \(G\) 中 \(N\) 集合中的元素”坍缩“为单位元以后的结果,所有 \(xy^{-1}\in N\) 都被归入同一个集合。对于两个集合,定义它们相乘以后的结果为从两个集合中任取一个元素做乘法后,乘积所在的集合。
4.4 与商群相关的一些定理
拉格朗日定理
对于有限群 \(G\),若 \(H\le G\),那么 \(|H|\) 是 \(|G|\) 的因数,并且 \(H\) 在 \(G\) 中不同左(右)陪集的数量为 \(\dfrac{|G|}{|H|}\)。
对于 \(H\le G\),定义 \(H\) 在 \(G\) 中的指数 \(|G:H|\) 为 \(H\) 在 \(G\) 中不同左(右)陪集的数量。如果 \(G\) 是有限群,那么 \(|G:H|=\dfrac{|G|}{|H|}\)。注意,即便 \(G,H\) 不是有限群,\(|G:H|\) 也可能有限,因此有时候出现这个符号时需要考虑 \(G,H\) 为无限群的情况。
推论 1:如果 \(G\) 是有限群,那么 \(\forall x\in G\),\(|x|\) 是 \(|G|\) 的因数。
推论 2:如果 \(|G|\) 是质数,那么 \(G\) 必然是循环群,即 \(G\cong Z_{|G|}\)。
欧拉定理
若正整数 \(a,n\) 满足 \((a,n)=1\),则 \(a^{\varphi(n)}\equiv 1\pmod{n}\)。
费马小定理是该定理的弱化版:对于质数 \(p\) 及任意整数 \(a\) 都有,\(a^p\equiv a\pmod{p}\)。
4.5 换位子群
对于一个群 \(G\) 中两个元素 \(x,y\),定义 \(x,y\) 的交换子 \([x,y]\) 为 \(x^{-1}y^{-1}xy\),定义 \(G\) 的换位子群 \(G'=\lang[x,y]|x,y\in G\rang\)。显然,\([x,y]=1\) 当且仅当 \(xy=yx\),并且因为 \(x^{-1}y^{-1}=(yx)^{-1}\),所以实际上“交换子”可以看作是衡量 \(xy\) 和 \(yx\) 的“差距”的量。
交换子和换位子群满足以下性质:
- \(xy=yx[x,y]\)
- \(H\unlhd G\) 当且仅当 \(\forall h\in H,g\in G\),\([h,g]\in H\)。
- 对任意自同构 \(\sigma\) 都有 \(\sigma([x,y])=[\sigma(x),\sigma(y)]\)。\(G'\) 是 \(G\) 的特征子群并且 \(G/G'\) 是阿贝尔群。
- \(G'\) 是 \(G\) 中最小的使得 \(G/G'\) 为阿贝尔群的正规子群。
5. 单群、合成列与可解群
5.1 单群与合成列
单群:一个群 \(G\) 是单群当且仅当 \(|G|>1\) 且其正规子群只有 \(1\) 和 \(G\)。
质数阶群一定是单群。
合成列:一个由 \(G\) 的子群构成的序列 \(1=N_0\le N_1\le N_2\le N_3\cdots\le N_k=G\) 称为 \(G\) 的合成列当且仅当 \(N_i\unlhd N_{i+1}\) 并且 \(N_{i+1}/N_i\) 是单群,其中 \(0\le i\lt k\)。
Jordan-Holder 定理:对于任意一个阶大于 \(1\) 的群 \(G\),\(G\) 的合成列均存在,并且所有合成列的 \(\{N_{i+1}/N_i\}\) 组成的集合都是相同的。
Feit-Tompson 定理:若群 \(G\) 是单群并且其阶是奇数,那么 \(|G|\) 必然是质数。
5.2 可解群
一个群 \(G\) 被称为可解群当且仅当存在一个由 \(G\) 的子群构成的序列 \(1=G_0\unlhd G_1\unlhd G_2\unlhd\cdots\unlhd G_s=G\) 满足 \(G_{i+1}/G_i\) 都是阿贝尔群,其中 \(0\le i\lt s\)。
Phillip-Hall 定理:一个群是可解群当且仅当对于所有满足 \(n\mid|G|\) 且 \(\gcd(n,\dfrac{|G|}{n})=1\) 的 \(n\),\(G\) 中都存在一个阶为 \(n\) 的子群。
对于 \(G\) 的某个正规子群 \(N\),如果 \(N,G/N\) 都是可解群,那么 \(G\) 也是可解群。
反过来,可解群的子群和商群也都是可解群。
6. 群作用
6.1 群作用的定义
设 \(G\) 是一个群,\(A\) 是一个非空集合,那么一个 \(G\) 在 \(A\) 上的群作用是一个从 \(G\times A\to A\) 的映射,记作 \(g\cdot a\),满足以下两个条件:
- \(\forall g_1,g_2\in G\),\(a\in A\),都有 \(g_1\cdot(g_2\cdot a)=(g_1g_2)\cdot a\)。
- \(\forall a\in A\),\(1\cdot a=a\)。
在此基础上我们定义:
- 群作用的核为满足 \(\forall a\in A\) 都有 \(g\cdot a=a\) 的 \(g\) 组成的集合。
- 对于 \(a\in A\),定义 \(a\) 的稳定子群 \(G_a\) 为满足 \(g\cdot a=a\) 的 \(g\) 组成的集合。
- 称一个群作用是忠实的,当且仅当这个群作用的核中有且仅有单位元。
我们发现,如果存在 \(g\in G\),\(a\ne b\in A\) 满足 \(g·a=g·b\),那么两边同时左乘 \(g^{-1}\) 可得 \(1·a=1·b\),这显然不成立。换句话说,对于每个元素 \(g\in G\),考虑一 \(A\to A\) 的映射 \(\sigma_g\) 满足 \(\sigma_g(a)=g\cdot a\),那么 \(\sigma_g\in S_A\),即 \(\sigma_g\) 是 \(A\) 上的一个排列。也就是说,我们可以将 \(g\) 中的每个元素视作一个 \(A\) 上的排列,即 \(\varphi:G\to S_A\) 且 \(\varphi(g)=\sigma_g\)。容易验证 \(\varphi\) 是一个 \(G\to S_A\) 的同态。我们称这样的 \(\varphi\) 为该群作用的置换表示。反过来,也容易验证一个 \(G\to S_A\) 的同态可以视作 \(G\) 在 \(A\) 上的群作用。也就是说,研究群作用本质上就是研究 \(G\to S_A\) 的同态。
6.2 群作用的轨道
考虑 \(A\) 上的关系 \(\sim\),我们称 \(a\sim b\),当且仅当存在 \(a\) 使得 \(g\cdot a=b\),那么 \(\sim\) 是一个等价关系,因其满足:
- 自反性:\(a=1·a\),故 \(a\sim a\)。
- 斜对称性:若 \(a\sim b\),则存在 \(g\in G\) 使得 \(a=g·b\),那么 \(g^{-1}·a=b\),故 \(b\sim a\)。
- 传递性:若 \(a\sim b,b\sim c\),那么存在 \(g,h\in G\) 使得 \(a=g·b,b=h·c\),故 \(a=g·(h·c)=(g·h)·c\),\(a\sim c\)。
称这样的等价类为该群作用的一个轨道。特别地,如果 \(A\) 中只有一个轨道,则称该群作用是传递的。
(轨道稳定子定理)对于任意一元素 \(a\in A\),与 \(a\) 在同一个轨道中的元素个数为 \(|G:G_a|\),即 \(a\) 的稳定子群的指数。
证明:考虑构造一个 \(G_a\) 在 \(G\) 中的左陪集与集合 \(\bar{a}=\{g·a|g\in G\}\) 中的元素的双射,设 \(b=g·a\),那么 \(gG_a\) 是一个 \(G_a\) 在 \(G\) 中的左陪集,而因为 \(\forall g\in G\),\(g·a\in\bar{a}\),所以 \(b\to gG_a\) 满射。更进一步,若 $$gG_a=hG_a$$,则 \(h^{-1}g\in G_a\),\(g·a=h·a\),所以这个映射同时也是单射,进而是一个双射。故 \(|\bar{a}|=|G:G_a|\)。
6.3 一些经典的群作用
左正则表示
对于任意一个群 \(G\),考虑令 \(A=G\),并且 \(g·a=ga\),这样我们就得到了 \(G\) 通过左乘作用于自身的群作用,即该群的左正则表示。类似地也可以定义右正则表示。
不难,该群作用是忠实且传递的,并且对于任意 \(g\in G\),\(g\) 的稳定子群都只有单位元。
考虑这个群作用的置换表示。因为每个群作用都对应一个 \(G\to S_A\) 的同态 \(\varphi\),而这一群作用中 \(\ker\varphi=1\),根据第一同构定理,\(G\cong\text{im}(\varphi)\),而后者是 \(S_G\) 的一个子群。这样我们证明了凯莱定理——任意一个群都同构于某个置换群。
作用于左陪集的群作用
对于某一群 \(G\),设 $H\le G $,考虑将 \(G\) 作用于 \(H\) 在 \(G\) 中的所有左陪集集合 \(A\),即,对于 \(g\in G,hH\in A\),我们定义 \(g\cdot hH=(gh)H\),显然这是一个良定义的群作用(哪怕 \(H\) 并不是 \(G\) 的正规子群,因为只要 \(H\) 是 \(G\) 的子群,那么 \(H\) 中 \(G\) 中的陪集总是存在,并且形成了 \(G\) 的一组划分),设 \(\pi_H\) 为该群作用对应的置换表示,那么这个群作用有以下性质:
- 该群作用是传递的
- \(1H\in A\) 的稳定子群就是 \(H\)
- 该群作用的核 \(\ker\pi_H=\cap_{x\in G}xHx^{-1}\),并且它是包含于 \(H\) 中的最大的正规子群。
证明:
任取 \(A\) 中两元素 \(aH,bH\),令 \(g=ba^{-1}\),有 \(gaH=bH\),得证。
因为 \(H\) 是 \(G\) 的子群,故该性质显然成立。
根据 \(\pi_H\) 的定义有
\[\begin{aligned} \ker\pi_H&=\{g\in G|gxH=xH,\forall x\in G\}\\ &=\{g\in G|(x^{-1}gx)H=H,\forall x\in G\}\\ &=\{g\in G|g\in xHx^{-1},\forall x\in G\}\\ &=\cap_{x\in G}xHx^{-1} \end{aligned} \]而另一方面 \(\ker\pi_H\unlhd G,\ker\pi_H\unlhd H\),若 \(N\) 是任意 \(G\) 的正规子群满足 \(N\le H\),那么 \(N=xNx^{-1}\le xHx^{-1}\),故 \(N\le\cap_{x\in G}xHx^{-1}=\ker\pi_H\)。
共轭群作用
和左正则表示类似,共轭群作用也是一个群 \(G\) 作用在其自身上的群作用。具体来说,令 \(A=G\),并且 \(g·a=gag^{-1}\),这样的群作用称为 \(G\) 的共轭群作用。在次基础上我们定义两个元素 \(x,y\) 共轭,当且仅当存在 \(g\in G\) 使得 \(gxg^{-1}=y\),对于两个集合之间也有类似的定义。
如果 \(|G|>1\),那么 \(1\) 必然独立形成一个轨道,故这种情况下该群作用一定不是传递的。
根据轨道稳定子定理,对 \(G\) 的任意一个子集 \(S\) 而言,与 \(S\) 共轭的集合个数就是 \(|G:G_S|\),而 \(G_S=N_G(S)\),故其等于 \(|G:N_G(S)|\)。特别地,如果 \(S\) 由单个元素 \(s\) 组成,那么 \(N_G(S)=C_G(S)\),用轨道的语言来描述就是 \(s\) 所在的轨道大小为 \(|G:C_G(s)|\)。
将这个性质进行推广,我们可以得到该群的类方程:\(|G|=|Z(G)|+\sum\limits_{a\in A}|G:C_G(a)|\),其中 \(A\) 为所有非平凡轨道的代表元。特别地,如果 \(G=p^{\alpha}\),其中 \(p\) 为质数,\(\alpha\in\mathbb{Z}\),那么因为加号后面的部分都是 \(p\) 的倍数,故 \(|Z(G)|\) 也是 \(p\) 的倍数,即这个群的中心一定是非平凡的。
7. 自同构
7.1 自同构的定义与内自同构群
自同构,顾名思义,就是一个群 \(G\) 到自身的同构组成的子群,记作 \(\text{Aut}(G)\)。显然 \(\text{Aut}(G)\le S_G\)。
在所有自同构中,最重要的一类是由共轭定义的自同构。考虑群 \(G\) 的任一正规子群 \(H\),那么 \(\forall x\in G\),考虑 \(\sigma_x:H\to H\),满足 \(\sigma_x(h)=xhx^{-1}\),那么容易证明 \(\sigma_x\in\text{Aut}(H)\)。更进一步地,所有这样的 \(\sigma_x\) 又构成了一个 \(G\to\text{Aut}(H)\) 的同态 \(\psi\) 满足 \(\psi(x)=\sigma_x\),而因为这个同态的核 \(\ker\psi=C_G(H)\),故 \(G/C_G(H)\) 必然与 \(\text{Aut}(H)\) 某个子群同构。
特别地,若 \(G=H\),那么我们称所以 \(\sigma_x\) 组成的群为 \(G\) 的内自同构群,记作 \(\text{Inn}(G)\)。在这种情况下 \(\text{im}(\psi)=\text{Inn}(G),\ker\psi=Z(G)\),故根据第一同构定理,\(\text{Inn}(G)\cong G/Z(G)\)。
对于循环群 \(Z_n\) 而言,有 \(\text{Aut}(Z_n)\cong(Z/nZ)^{\times}\)。
7.2 特征子群
对于 \(G\) 中某个子群 \(H\le G\),称 \(H\) 是 \(G\) 的特征子群当且仅当对于所有 \(G\) 的自同构 \(\sigma\),都有 \(\sigma(H)=H\)。特征子群满足以下性质:
- 特征子群必定也是正规子群。
- 若 \(G\) 中有且仅有 \(H\) 这一个 \(|H|\) 阶子群,那么 \(H\) 是 \(G\) 的特征子群。
- 若 \(K\) 是 \(H\) 的特征子群,\(H\unlhd G\),那么 \(K\unlhd G\)。注意,如果将两边的“特征子群”和“正规子群”的顺序颠倒,即外面是特征子群里面是正规子群,则命题不成立。
7.3 Sylow 定理
对于一个阶为 \(p^{\alpha}·m\) 的群 \(G\),其中 \(\alpha\in\mathbb{Z}^+\),\((m,p)=1\),定义一个群 \(H\le G\) 是其 \(p\) 子群当且仅当存在 \(\beta\in\mathbb{Z}^+\) 使得 \(p^{\beta}=|H|\)。定义一个群 \(H\le G\) 是其 Sylow \(p\) 子群当且仅当 \(|H|=p^{\alpha}\)。
Sylow 定理的内容如下:
- 对任意质数 \(p\mid|G|\),Sylow \(p\) 子群总是存在的。
- 任意两个 Sylow \(p\) 子群都是共轭的,并且对于任意 \(x\le y\le\alpha\) 以及任意一个阶为 \(p^x\) 的子群 \(H\),总存在一个阶为 \(p^y\) 的子群 \(H'\) 使得 \(H\le H'\)。
- 设 \(n_p(G)\) 为 \(G\) 中 Sylow \(p\) 子群的个数,那么 \(n_p(G)\equiv 1\pmod{p}\),对于任意 Sylow \(p\) 子群 \(P\) 都有 \(n_p(G)=|G:N_G(P)|\),\(n_p(G)\mid m\)。