抽象代数（群论）复习笔记

谨以此文，悼念我炸裂的危寄分欸二期中考试。下次不仅要带一个脑子做题，还得带一个脑子盯着它做题，不然第一个脑子容易跑偏刹不住车。得去黑市看一眼最近脑子市价如何，如果太贵还得卖点东西凑一凑。

1. 群

1.1 群的定义

群，是一个由一个集合 $G$ 和一种 $G$ 上的二元运算 $\times$（在实际表达中我们往往省略乘号不写）组成的二元组 $(G,\times)$，并且满足以下三个条件：

1. 存在一个特殊元素 $e$（也可以写作 $1$）满足 $\forall x\in G$，$ex=xe=x$。
2. 对于群中每个元素 $a$ 都存在某个 $a^{-1}\in G$ 使得 $aa^{-1}=a^{-1}a=1$。
3. $\times$ 满足结合律，即 $\forall a,b,c\in G$，$(ab)c=(ab)c$。

如果 $\times$ 运算满足交换律，即 $\forall x,y\in G$，$xy=yx$，那么又称 $G$ 是一个阿贝尔群。

群有一些基本性质：

1. 单位元、每个元素的逆元均唯一。
2. $(a^{-1})^{-1}=a$。
3. $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$。

1.2 与群相关的其他基本定义

• 阶：对于一个元素 $x\in G$ 而言，定义其阶为最小的正整数 $n$ 满足 $x^n=1$，如果不存在则认为是 $+\infty$。

• 子群：对于一个群 $G$ 而言，定义 $H$ 是 $G$ 的子群，当且仅当 $H\subseteq G$，并且满足以下两个条件：

  1. $H$ 非空（这点很容易被忽视，只有有了单位元才能称得上群）
  2. $\forall x,y\in H$，都有 $xy^{-1}\in H$

  特别地，如果 $H$ 大小有限，那么这等价于检验是否对于所有 $x,y\in H$，都有 $xy\in H$。

  记作 $H\le G$。

• 生成元：称一个群 $G$ 能被一个集合 $S$ 中的元素生成，当且仅当 $G$ 中每个元素都能由 $S$ 中的元素和它们的逆元进行有限次乘法得到。写作 $G=\lang S\rang$。其中 $S$ 的元素被称为 $G$ 的生成元。

2. 特殊群

2.1 与数有关的群

• $\mathbb{R},\mathbb{Q},\mathbb{Z},\mathbb{C}$，实数、有理数、整数、复数在加法意义下的群。
• $GL_n(\mathbb{R})$，$n\times n$ 可逆实数矩阵组成的群。
• $Z/nZ$（亦写作 $Z_n$）$\bmod n$ 意义下的剩余系在加法意义下的群。
• $(Z/nZ)^{\times}$ 与 $n$ 互质的数在 $\bmod n$ 乘法意义下的群

2.2 克莱因四元群

克莱因四元群 $V_4$ 由 $1,a,b,c$ 四个元素组成，单位元是 $1$，除了单位元之外每个元素的阶都是 $2$。它的乘法表如下：

\	$1$	$a$	$b$	$c$
$1$	$1$	$a$	$b$	$c$
$a$	$a$	$1$	$c$	$b$
$b$	$b$	$c$	$1$	$a$
$c$	$c$	$b$	$a$	$1$

可以证明，任意一个 $4$ 阶群要么同构于 $V_4$ 要么同构于 $Z_4$，取决于群中存不存在阶为 $4$ 的元素。

2.3 哈密尔顿四元数群

哈密尔顿四元数群 $Q_8$ 由 $8$ 个元素 $\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k$ 组成，满足：

• $i·i=j·j=k·k=-1$

• $i·j=k,j·i=-k,,j·k=i,k·j=-i,k·i=j,i·k=-j$

显然 $Q_8$ 不是阿贝尔群。

2.4 二面体群

二面体群 $D_{2n}$ 由 $n$ 个元素 $1,r,r^2,r^3,\cdots,r^{n-1},s,rs,r^2s,\cdots,r^{n-1}s$ 组成，并且满足 $r^n=s^2=1$。为什么说它是二面体群呢？因为这些操作可以看作是对空间中两个正 $n$ 边形组成的二面体进行的操作，$r$ 相当于将二面体沿着顺时针方向旋转 $\dfrac{2\pi}{n}$ 之后的结果，$s$ 相当于将二面体上下反转之后的结果。

二面体群不是阿贝尔群。容易证明二面体群 $D_{2n}$ 的生成元满足以下性质：

• $1,r,r^2,\cdots,r^{n-1}$ 互不相同并且 $r^n=1$
• $s\ne r^j$ 对所有整数 $z$ 都成立
• 对于 $[0,n-1]$ 中不同的 $i,j$，$sr^i\ne sr^j$
• $rs=sr^{-1},r^js=sr^{-j}$。

2.5 循环群

称一个群 $H$ 是循环群当且仅当 $H$ 可以被一个元素 $x$，即 $H=\lang x\rang$。其中 $H$ 可以是有限群也可以是无限群。循环群一定是阿贝尔群。

循环群有以下性质：

1. 如果 $H=\lang x\rang$，那么 $|H|=|x|$。这条性质对有限群和无限群均成立。
2. 对于循环群中的某个元素 $x$，如果 $x^n=x^m=1$，那么 $x^{\gcd(n,m)}=1$。
3. 对于循环群中的某个元素 $x$ 以及整数 $a\ne 0$，如果 $|x|=\infty$，那么 $|x^a|=\infty$，否则 $|x^a|=\dfrac{n}{\gcd(n,a)}$。

2.6 对称群

对于一个大小为 $n$ 的集合 $\Omega$，记 $S_{\Omega}$ 为所有 $\Omega\to \Omega$ 的双射与复合运算构成的群。特别地，如果脚标上是一个正整数 $n$，则默认 $\Omega=\{1,2,3,\cdots,n\}$。我们将这类群称为“对称群”。显然 $|S_n|=n!$，且对于 $n\ge 3$，$S_n$ 都不是阿贝尔群。

在抽象代数中我们一般不直接将置换写成排列的形式，而一般用环表示，即将一个置换看作若干个不交的环的乘积。对于一个满足 $\sigma(a_1)=a_2,\sigma(a_2)=a_3,\cdots,\sigma(a_m)=a_1$ 的环，将其记作 $(a_1a_2\cdots a_m)$。将一个排列所有环并排列出来就得到了这个排列的环表示。

对称群的子群称作置换群。任何一个群都同构于某个置换群。

2.7 交错群

首先我们先需要知道怎么定义 $S_n$ 中一个置换的奇偶性：考虑 $n$ 个独立变量 $x_1,x_2,\cdots,x_n$，以及一个多项式 $\Delta=\prod\limits_{1\le i<j\le n}(x_i-x_j)$。对于一 $\sigma\in S_n$，考虑 $\sigma(\Delta)=\prod\limits_{1\le i<j\le n}(x_{\sigma(i)}-x_{\sigma(j)})$，如果 $\Delta=\sigma(\Delta)$ 则称 $\sigma$ 为奇置换，否则称 $\sigma$ 为偶置换。一个等价的判定方式是 $\sigma$ 是奇置换当且仅当其环表示中长度为偶数的环的个数是奇数。

在此基础上我们定义 $A_n$ 为所有偶置换构成的群。更进一步地，考虑 $\epsilon:S_n\to \{\pm 1\}$，满足 $\epsilon(\sigma)=\begin{cases}+1&(\sigma(\Delta)=\Delta)\\-1&(\sigma(\Delta)=-\Delta)\end{cases}$，那么因为 $\tau\sigma(\Delta)=\prod\limits_{1\le i\lt j\le n}(x_{\tau(\sigma(i))}-x_{\tau(\sigma(j))})=\epsilon(\sigma)\prod\limits_{1\le p\lt q\le n}(x_{\tau(p)}-x_{\tau(q)})=\epsilon(\sigma)\epsilon(\tau)\Delta$，故 $\epsilon$ 可以看作是 $S_n$ 到 $Z_2$ 上的同态。这样可以很自然地定义 $A_n$ 为该同态的核。根据这一点可知，对于 $n\ge 2$ 而言有 $A_n\unlhd S_n$ 且 $|A_n|=\dfrac{n!}{2}$。这一类群被称为交错群。

当 $n\ge 5$ 时，$A_n$ 都是单群，并且 $S_n$ 只有 $A_n$ 这一个非平凡正规子群。

3. 同态与同构相关

3.1 同态

对于两个群 $(G,\star)$ 和 $(H,\diamond)$，如果存在一个 $G\to H$ 的映射 $\varphi$ 满足 $\forall x,y\in G$，$\varphi(x\star y)=\varphi(x)\diamond\varphi(y)$，那么称 $\varphi$ 为群 $G$ 到群 $H$ 的同态。

同态的核 $\ker\varphi$ 定义为 $1$ 的原像，即 $\ker\varphi=\{g\in G|\varphi(g)=1\}$。

若 $\varphi:G\to H$ 为 $G$ 到 $H$ 的同态，那么可以证明以下几条性质成立：

1. $\varphi(1_G)=1_H$
2. $\varphi(g^{-1})=\varphi(g)^{-1}$
3. $\varphi(g^n)=\varphi(g)^n$
4. $\ker\varphi\le G$
5. $\text{im}(\varphi)=\varphi(G)\le H$

3.2 同构

在上文同态的定义中，更进一步地，如果 $\varphi$ 是双射，那么称 $\varphi$ 为群 $G$ 到群 $H$ 的同构。如果存在 $\varphi$ 使得 $\varphi$ 为群 $G$ 到群 $H$ 的同构，那么称 $G,H$ 是同构的，记作 $G\cong H$。

不难证明，如果 $G\cong H$ 并且 $\varphi$ 是 $G$ 到 $H$ 的同态，那么以下条件必然成立：

1. $|G|=|H|$
2. 两个群要么都是阿贝尔群要么都不是
3. $\forall x\in G, |x|=|\varphi(x)|$

很容易发现，如果两个群同构，那么实际上两个群之间只有元素的表示不同，或者说，$H$ 可以看作将 $G$ 中元素重标号以后的结果，因此同构是一个非常强的性质。两个同构的群只用研究一个就可以知道另一个的性质。

3.3 四大同构定理

第一群同构定理

若 $\varphi$ 是一个 $G\to H$ 的同态，那么 $\ker\varphi$ 是 $G$ 的正规子群，并且 $G/\ker\varphi\cong\varphi(G)$，

第一同构定理的意义在于，它揭示了满同构与商群的关系，即一个商群实际上就是其对应的满同构的像集组成的群，这样我们可以从某种程度上避开对“商群”这种由陪集组成的抽象的概念的讨论，转而去讨论像集这种相对具体的概念。

第二群同构定理

若 $A,B\le G$，$A\le N_G(B)$，那么 $AB\le G$, $A\cap B\unlhd A$，并且 $AB/B\cong A/(A\cap B)$。

第二群同构定理又被称为“菱形同构定理”，主要原因是将 $A,B,AB,A\cap B$ 四者的格画出来之后，形状似一菱形。

第三群同构定理

若 $H,K\unlhd G$，并且 $H\le K$，那么 $K/H\unlhd G/H$，并且 $(G/H)/(K/H)\cong G/K$。

第四群同构定理

若 $N$ 是 $G$ 的正规子群，那么每个 $G$ 的包含 $N$ 的子群都与 $G/N$ 的每个子群一一对应。具体来说，每个 $\bar{G}=G/N$ 的子群 $\bar{A}$ 都可以被写成 $A/N$ 的形式，其中 $A\le G,N\le A$，并且满足以下条件：

1. $A\le B$ 当且仅当 $\bar{A}\le \bar{B}$。
2. 若 $A\le B$，则 $|B:A|=|\bar{B}:\bar{A}|$。
3. $\bar{\lang A,B\rang}=\lang\bar{A},\bar{B}\rang$。
4. $\bar{A\cap B}=\bar{A}\cap\bar{B}$。
5. $A\unlhd G$ 当且仅当 $\bar{A}\unlhd\bar{G}$。

第四群同构定理又被称为“格定理”，主要原因是，它揭示了 $G$ 的格中正规子群 $N$ 上方的部分与 $G/N$ 的格是完全一样的。

4. 商群和正规子群

4.1 中心化子和正规化子

• 中心化子：对于 $G$ 的一个子集 $S$，定义 $S$ 在 $G$ 中的中心化子 $C_G(S)$ 是 $G$ 中所有能与 $S$ 中每一个元素交换的元素组成的集合，即 $\{g|g\in G,ga=ag,\forall a\in S\}$。
• 正规化子：对于 $G$ 的一个子集 $S$，定义 $S$ 在 $G$ 中的正规化子 $N_G(S)$ 是满足 $gSg^{-1}=S$ 的 $g$ 组成的集合，其中 $gSg^{-1}=\{gag^{-1}|a\in S\}$。
• 中心：对于一个群 $G$，定义其中心为能与 $G$ 中所有元素交换的元素组成的集合，即 $C_G(G)$，记作 $Z(G)$。

对于任意子集 $S$ 而言，可以证明其中心化子和正规化子组成的集合都是 $G$ 的子群，并且满足 $Z(G)\le C_G(S)\le N_G(S)$。

4.2 商群

关于商集，最原始的定义实际上是从同态入手的。

考虑 $G\to H$ 的某个同态 $\varphi$，对于 $\varphi$ 像集中的某个元素 $a$，我们定义这个点的 fiber 为满足 $\varphi(x)=a$ 的 $x$ 组成的集合，记作 $X_a$，那么考虑由所有 $X_a$ 组成的集合，并且定义 fiber 之间的乘法为 $X_aX_b=X_{ab}$。因为 $\varphi$ 的像集 $\text{im}(\varphi)$ 是 $H$ 的一个子群，因此这个 $X_a$ 组成的集合其存在单位元 $X_1$、逆元 $X_{a^{-1}}$，并且满足结合律，故其构成了一个群。我们称这样的群为商群，记作 $G/\ker\varphi$。

但是这个定义显得有点抽象且不易理解。另一种比较直观的理解方式则是从“陪集”角度入手的。

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考虑上文中所说的同态的核 $K=\ker\varphi$，对于任意一个 $a\in\text{im}(\varphi)$，令 $X=\varphi^{-1}(a)$，我们发现如下两个性质成立：

1. $\forall u\in X,X=\{uk|k\in K\}=uK$。
2. $\forall u\in X,X=\{ku|k\in K\}=Ku$。

证明：显然两个命题是镜像的，故只证明（1）。令 $u\in X$，那么 $\varphi(u)=a$。首先 $\forall k\in K$, $\varphi(uk)=\varphi(u)\varphi(k)=a$，故 $uk\in X$，$uK\subseteq X$。另一方面，$\forall g\in X$，$k=u^{-1}g$ $\varphi(k)=\varphi(u)^{-1}\varphi(g)=1$，$k\in\ker\varphi$，$g=uk\in uK$，$X\subseteq uK$。两者结合起来可以得到 $uK=X$。

我们称这样的 $uK$ 为“左陪集”，$Ku$ 为“右陪集”。这个性质告诉我们，上文中定义的“fiber”实际上和这个同态的核的左右陪集是等价的。也就是说，对于某个 fiber $X_a$，我们可以将 $X_a$ 看作任意一个 $x\in X_a$ 关于 $K$ 的左（右）陪集 $xK$。对于两个不同的陪集 $aK,bK$，定义 $(aK)·(bK)=(ab)K$。因为所有 fiber 构成了一个群，所以这个乘法也必然是良定义的，这些陪集与乘法运算也构成了一个群。这样我们就给出了商群更常用的定义。

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我们希望这个定义更简洁一些，比方说把这个同态也省略了，因为实际上在上文中有关陪集的定义之下，有用的部分只有这个同态的核，知道了核以后也就知道所有左右陪集，也进而能定义这些陪集之间的乘法。因此我们很自然地有这样一个想法：仅仅给出一个 $G$ 的子集 $N$，然后用所有 $gN$ 组成的集合来定义这个群是否可行呢？

不完全可行。显然，你任取一个 $G$ 的子集，它甚至不一定是 $G$ 的一个子群，这样得到的 $gN$ 很可能是杂乱无章的，自然也没有什么性质可言。

那如果 $N$ 是 $G$ 的一个子群是否就能定义了呢？

首先，我们有这样的性质：如果 $N$ 是 $G$ 的一个子群，那么所有 $gN$ 组成了 $G$ 的一组划分，并且 $uN=vN$ 当且仅当 $u,v$ 在同一组划分里，也当且仅当 $uv^{-1}\in N$。

证明：因为 $N\le G$, $1\in N$，$g=g·1$，所以 $G=\cup_{g\in G}gN$。进一步地，如果 $uN\cap vN\ne\varnothing$，那么 $\exists x\in uN\cap vN$，设 $x=un=vm$，其中 $n,m\in N$，那么 $u=vmn^{-1}$，而 $\forall ut\in uN$，$ut=vmn^{-1}t\in vN$，故 $uN\subseteq vN$。类似地 $vN\subseteq uN$，故 $uN=vN$。这样我们知道 $uN=vN\Leftrightarrow u\in vN\Leftrightarrow v^{-1}u\in N$，得证。

但是我们还发现，如果 $G=D_8$，$N=\{1,s\}$，那么 $1·r·N=\{r,rs\}$，$s·r·N=\{r^3s,r^3\}$，但是 $1,s$ 在同一个左陪集里。这意味着在这种情况下对于同样两个陪集，你选取不同的 $u,v$，它们得到的 $(uv)N$ 可能不同！这样 $(uN)·(vN)$ 就不是良定义的。这意味着即便 $N$ 是 $G$ 的一个子群，$N$ 的左陪集和右陪集都存在，也不一定能在左陪集的集合上定义乘法，进而不一定存在对应的商集。

4.3 正规子群

说了这么多，究竟什么样的 $N$ 存在商集呢？事实上结论是这样的，对于 $N\le G$，$uN·vN=(uv)N$ 是良定义的当且仅当 $gng^{-1}\in N$ 对一切 $\forall g\in G,n\in N$ 都成立。

证明：假设乘法运算是良定义的，即 $\forall u,v\in G$，如果 $uu_1\in uN,vv_1\in vN$，那么 $uvN=u_1v_1N$，那么考虑 $\forall g\in G,\forall n\in N$，令 $u=1,u_1=n,v=v_1=g^{-1}$，可得 $1g^{-1}N=ng^{-1}N$，即 $g^{-1}N=ng^{-1}N$，而因为 $1\in N$, $ng^{-1}\in ng^{-1}N=g^{-1}N$，故 $ng^{-1}=g^{-1}n_1$，其中 $n_1\in N$，这样有 $gng^{-1}=n_1\in N$。

另一方面，如果 $gng^{-1}\in N$ 对所有 $\forall g\in G,n\in N$ 都成立，那么令 $u,u_1\in uN,v,v_1\in vN$，将 $u_1$ 写成 $un$ 的形式，$v_1$ 写成 $vm$ 的形式，其中 $n,m\in N$，那么 $u_1v_1=unvm=uvv^{-1}nvm=uv(n_1m)$，其中 $n_1=v^{-1}nv\in N$，这样 $u_1v_1\in uvN$，这个乘法运算就是良定义的。

将这样的子群 $N$ 定义为 $G$ 的正规子群，写作 $N\unlhd G$。容易证明 $N\unlhd G$ 这个条件与以下五者都等价：

1. $N_G(N)=G$。
2. 对所有 $g\in G$ 都有 $gN=Ng$。
3. 对所有 $\forall g\in G$ 都有 $gNg^{-1}=N$。
4. 在 $N$ 的陪集上定义的运算 $(aN)·(bN)=(ab)·N$ 是良定义的。
5. 存在某个 $G\to H$ 的同态 $\varphi$ 使得 $N$ 是 $\varphi$ 的核。

正规子群不一定具有传递性，即 $K\unlhd H,H\unlhd G$ 并不能推出 $K\unlhd G$。但是如果 $K,H\unlhd G$，必然有 $K\cap H\unlhd G$，即正规子群的交一定是正规子群。

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说了这么多，实际上我们可以用这样一种直观的方式来理解商群：商群 $G/N$ 将 $G$ 中 $N$ 集合中的元素”坍缩“为单位元以后的结果，所有 $xy^{-1}\in N$ 都被归入同一个集合。对于两个集合，定义它们相乘以后的结果为从两个集合中任取一个元素做乘法后，乘积所在的集合。

4.4 与商群相关的一些定理

拉格朗日定理

对于有限群 $G$，若 $H\le G$，那么 $|H|$ 是 $|G|$ 的因数，并且 $H$ 在 $G$ 中不同左（右）陪集的数量为 $\dfrac{|G|}{|H|}$。

对于 $H\le G$，定义 $H$ 在 $G$ 中的指数 $|G:H|$ 为 $H$ 在 $G$ 中不同左（右）陪集的数量。如果 $G$ 是有限群，那么 $|G:H|=\dfrac{|G|}{|H|}$。注意，即便 $G,H$ 不是有限群，$|G:H|$ 也可能有限，因此有时候出现这个符号时需要考虑 $G,H$ 为无限群的情况。

推论 1：如果 $G$ 是有限群，那么 $\forall x\in G$，$|x|$ 是 $|G|$ 的因数。

推论 2：如果 $|G|$ 是质数，那么 $G$ 必然是循环群，即 $G\cong Z_{|G|}$。

欧拉定理

若正整数 $a,n$ 满足 $(a,n)=1$，则 $a^{\varphi(n)}\equiv 1\pmod{n}$。

费马小定理是该定理的弱化版：对于质数 $p$ 及任意整数 $a$ 都有，$a^p\equiv a\pmod{p}$。

4.5 换位子群

对于一个群 $G$ 中两个元素 $x,y$，定义 $x,y$ 的交换子 $[x,y]$ 为 $x^{-1}y^{-1}xy$，定义 $G$ 的换位子群 $G'=\lang[x,y]|x,y\in G\rang$。显然，$[x,y]=1$ 当且仅当 $xy=yx$，并且因为 $x^{-1}y^{-1}=(yx)^{-1}$，所以实际上“交换子”可以看作是衡量 $xy$ 和 $yx$ 的“差距”的量。

交换子和换位子群满足以下性质：

1. $xy=yx[x,y]$
2. $H\unlhd G$ 当且仅当 $\forall h\in H,g\in G$，$[h,g]\in H$。
3. 对任意自同构 $\sigma$ 都有 $\sigma([x,y])=[\sigma(x),\sigma(y)]$。$G'$ 是 $G$ 的特征子群并且 $G/G'$ 是阿贝尔群。
4. $G'$ 是 $G$ 中最小的使得 $G/G'$ 为阿贝尔群的正规子群。

5. 单群、合成列与可解群

5.1 单群与合成列

单群：一个群 $G$ 是单群当且仅当 $|G|>1$ 且其正规子群只有 $1$ 和 $G$。

质数阶群一定是单群。

合成列：一个由 $G$ 的子群构成的序列 $1=N_0\le N_1\le N_2\le N_3\cdots\le N_k=G$ 称为 $G$ 的合成列当且仅当 $N_i\unlhd N_{i+1}$ 并且 $N_{i+1}/N_i$ 是单群，其中 $0\le i\lt k$。

Jordan-Holder 定理：对于任意一个阶大于 $1$ 的群 $G$，$G$ 的合成列均存在，并且所有合成列的 $\{N_{i+1}/N_i\}$ 组成的集合都是相同的。

Feit-Tompson 定理：若群 $G$ 是单群并且其阶是奇数，那么 $|G|$ 必然是质数。

5.2 可解群

一个群 $G$ 被称为可解群当且仅当存在一个由 $G$ 的子群构成的序列 $1=G_0\unlhd G_1\unlhd G_2\unlhd\cdots\unlhd G_s=G$ 满足 $G_{i+1}/G_i$ 都是阿贝尔群，其中 $0\le i\lt s$。

Phillip-Hall 定理：一个群是可解群当且仅当对于所有满足 $n\mid|G|$ 且 $\gcd(n,\dfrac{|G|}{n})=1$ 的 $n$，$G$ 中都存在一个阶为 $n$ 的子群。

对于 $G$ 的某个正规子群 $N$，如果 $N,G/N$ 都是可解群，那么 $G$ 也是可解群。

反过来，可解群的子群和商群也都是可解群。

6. 群作用

6.1 群作用的定义

设 $G$ 是一个群，$A$ 是一个非空集合，那么一个 $G$ 在 $A$ 上的群作用是一个从 $G\times A\to A$ 的映射，记作 $g\cdot a$，满足以下两个条件：

• $\forall g_1,g_2\in G$，$a\in A$，都有 $g_1\cdot(g_2\cdot a)=(g_1g_2)\cdot a$。
• $\forall a\in A$，$1\cdot a=a$。

在此基础上我们定义：

1. 群作用的核为满足 $\forall a\in A$ 都有 $g\cdot a=a$ 的 $g$ 组成的集合。
2. 对于 $a\in A$，定义 $a$ 的稳定子群 $G_a$ 为满足 $g\cdot a=a$ 的 $g$ 组成的集合。
3. 称一个群作用是忠实的，当且仅当这个群作用的核中有且仅有单位元。

我们发现，如果存在 $g\in G$，$a\ne b\in A$ 满足 $g·a=g·b$，那么两边同时左乘 $g^{-1}$ 可得 $1·a=1·b$，这显然不成立。换句话说，对于每个元素 $g\in G$，考虑一 $A\to A$ 的映射 $\sigma_g$ 满足 $\sigma_g(a)=g\cdot a$，那么 $\sigma_g\in S_A$，即 $\sigma_g$ 是 $A$ 上的一个排列。也就是说，我们可以将 $g$ 中的每个元素视作一个 $A$ 上的排列，即 $\varphi:G\to S_A$ 且 $\varphi(g)=\sigma_g$。容易验证 $\varphi$ 是一个 $G\to S_A$ 的同态。我们称这样的 $\varphi$ 为该群作用的置换表示。反过来，也容易验证一个 $G\to S_A$ 的同态可以视作 $G$ 在 $A$ 上的群作用。也就是说，研究群作用本质上就是研究 $G\to S_A$ 的同态。

6.2 群作用的轨道

考虑 $A$ 上的关系 $\sim$，我们称 $a\sim b$，当且仅当存在 $a$ 使得 $g\cdot a=b$，那么 $\sim$ 是一个等价关系，因其满足：

1. 自反性：$a=1·a$，故 $a\sim a$。
2. 斜对称性：若 $a\sim b$，则存在 $g\in G$ 使得 $a=g·b$，那么 $g^{-1}·a=b$，故 $b\sim a$。
3. 传递性：若 $a\sim b,b\sim c$，那么存在 $g,h\in G$ 使得 $a=g·b,b=h·c$，故 $a=g·(h·c)=(g·h)·c$，$a\sim c$。

称这样的等价类为该群作用的一个轨道。特别地，如果 $A$ 中只有一个轨道，则称该群作用是传递的。

（轨道稳定子定理）对于任意一元素 $a\in A$，与 $a$ 在同一个轨道中的元素个数为 $|G:G_a|$，即 $a$ 的稳定子群的指数。

证明：考虑构造一个 $G_a$ 在 $G$ 中的左陪集与集合 $\bar{a}=\{g·a|g\in G\}$ 中的元素的双射，设 $b=g·a$，那么 $gG_a$ 是一个 $G_a$ 在 $G$ 中的左陪集，而因为 $\forall g\in G$，$g·a\in\bar{a}$，所以 $b\to gG_a$ 满射。更进一步，若 $$gG_a=hG_a$$ ，则 $h^{-1}g\in G_a$，$g·a=h·a$，所以这个映射同时也是单射，进而是一个双射。故 $|\bar{a}|=|G:G_a|$。

6.3 一些经典的群作用

左正则表示

对于任意一个群 $G$，考虑令 $A=G$，并且 $g·a=ga$，这样我们就得到了 $G$ 通过左乘作用于自身的群作用，即该群的左正则表示。类似地也可以定义右正则表示。

不难，该群作用是忠实且传递的，并且对于任意 $g\in G$，$g$ 的稳定子群都只有单位元。

考虑这个群作用的置换表示。因为每个群作用都对应一个 $G\to S_A$ 的同态 $\varphi$，而这一群作用中 $\ker\varphi=1$，根据第一同构定理，$G\cong\text{im}(\varphi)$，而后者是 $S_G$ 的一个子群。这样我们证明了凯莱定理——任意一个群都同构于某个置换群。

作用于左陪集的群作用

对于某一群 $G$，设 $H\le G$，考虑将 $G$ 作用于 $H$ 在 $G$ 中的所有左陪集集合 $A$，即，对于 $g\in G,hH\in A$，我们定义 $g\cdot hH=(gh)H$，显然这是一个良定义的群作用（哪怕 $H$ 并不是 $G$ 的正规子群，因为只要 $H$ 是 $G$ 的子群，那么 $H$ 中 $G$ 中的陪集总是存在，并且形成了 $G$ 的一组划分），设 $\pi_H$ 为该群作用对应的置换表示，那么这个群作用有以下性质：

1. 该群作用是传递的
2. $1H\in A$ 的稳定子群就是 $H$
3. 该群作用的核 $\ker\pi_H=\cap_{x\in G}xHx^{-1}$，并且它是包含于 $H$ 中的最大的正规子群。

证明：

1. 任取 $A$ 中两元素 $aH,bH$，令 $g=ba^{-1}$，有 $gaH=bH$，得证。

2. 因为 $H$ 是 $G$ 的子群，故该性质显然成立。

3. 根据 $\pi_H$ 的定义有

   $$\begin{aligned} \ker\pi_H&=\{g\in G|gxH=xH,\forall x\in G\}\\ &=\{g\in G|(x^{-1}gx)H=H,\forall x\in G\}\\ &=\{g\in G|g\in xHx^{-1},\forall x\in G\}\\ &=\cap_{x\in G}xHx^{-1} \end{aligned}$$

   而另一方面 $\ker\pi_H\unlhd G,\ker\pi_H\unlhd H$，若 $N$ 是任意 $G$ 的正规子群满足 $N\le H$，那么 $N=xNx^{-1}\le xHx^{-1}$，故 $N\le\cap_{x\in G}xHx^{-1}=\ker\pi_H$。

共轭群作用

和左正则表示类似，共轭群作用也是一个群 $G$ 作用在其自身上的群作用。具体来说，令 $A=G$，并且 $g·a=gag^{-1}$，这样的群作用称为 $G$ 的共轭群作用。在次基础上我们定义两个元素 $x,y$ 共轭，当且仅当存在 $g\in G$ 使得 $gxg^{-1}=y$，对于两个集合之间也有类似的定义。

如果 $|G|>1$，那么 $1$ 必然独立形成一个轨道，故这种情况下该群作用一定不是传递的。

根据轨道稳定子定理，对 $G$ 的任意一个子集 $S$ 而言，与 $S$ 共轭的集合个数就是 $|G:G_S|$，而 $G_S=N_G(S)$，故其等于 $|G:N_G(S)|$。特别地，如果 $S$ 由单个元素 $s$ 组成，那么 $N_G(S)=C_G(S)$，用轨道的语言来描述就是 $s$ 所在的轨道大小为 $|G:C_G(s)|$。

将这个性质进行推广，我们可以得到该群的类方程：$|G|=|Z(G)|+\sum\limits_{a\in A}|G:C_G(a)|$，其中 $A$ 为所有非平凡轨道的代表元。特别地，如果 $G=p^{\alpha}$，其中 $p$ 为质数，$\alpha\in\mathbb{Z}$，那么因为加号后面的部分都是 $p$ 的倍数，故 $|Z(G)|$ 也是 $p$ 的倍数，即这个群的中心一定是非平凡的。

7. 自同构

7.1 自同构的定义与内自同构群

自同构，顾名思义，就是一个群 $G$ 到自身的同构组成的子群，记作 $\text{Aut}(G)$。显然 $\text{Aut}(G)\le S_G$。

在所有自同构中，最重要的一类是由共轭定义的自同构。考虑群 $G$ 的任一正规子群 $H$，那么 $\forall x\in G$，考虑 $\sigma_x:H\to H$，满足 $\sigma_x(h)=xhx^{-1}$，那么容易证明 $\sigma_x\in\text{Aut}(H)$。更进一步地，所有这样的 $\sigma_x$ 又构成了一个 $G\to\text{Aut}(H)$ 的同态 $\psi$ 满足 $\psi(x)=\sigma_x$，而因为这个同态的核 $\ker\psi=C_G(H)$，故 $G/C_G(H)$ 必然与 $\text{Aut}(H)$ 某个子群同构。

特别地，若 $G=H$，那么我们称所以 $\sigma_x$ 组成的群为 $G$ 的内自同构群，记作 $\text{Inn}(G)$。在这种情况下 $\text{im}(\psi)=\text{Inn}(G),\ker\psi=Z(G)$，故根据第一同构定理，$\text{Inn}(G)\cong G/Z(G)$。

对于循环群 $Z_n$ 而言，有 $\text{Aut}(Z_n)\cong(Z/nZ)^{\times}$。

7.2 特征子群

对于 $G$ 中某个子群 $H\le G$，称 $H$ 是 $G$ 的特征子群当且仅当对于所有 $G$ 的自同构 $\sigma$，都有 $\sigma(H)=H$。特征子群满足以下性质：

1. 特征子群必定也是正规子群。
2. 若 $G$ 中有且仅有 $H$ 这一个 $|H|$ 阶子群，那么 $H$ 是 $G$ 的特征子群。
3. 若 $K$ 是 $H$ 的特征子群，$H\unlhd G$，那么 $K\unlhd G$。注意，如果将两边的“特征子群”和“正规子群”的顺序颠倒，即外面是特征子群里面是正规子群，则命题不成立。

7.3 Sylow 定理

对于一个阶为 $p^{\alpha}·m$ 的群 $G$，其中 $\alpha\in\mathbb{Z}^+$，$(m,p)=1$，定义一个群 $H\le G$ 是其 $p$ 子群当且仅当存在 $\beta\in\mathbb{Z}^+$ 使得 $p^{\beta}=|H|$。定义一个群 $H\le G$ 是其 Sylow $p$ 子群当且仅当 $|H|=p^{\alpha}$。

Sylow 定理的内容如下：

1. 对任意质数 $p\mid|G|$，Sylow $p$ 子群总是存在的。
2. 任意两个 Sylow $p$ 子群都是共轭的，并且对于任意 $x\le y\le\alpha$ 以及任意一个阶为 $p^x$ 的子群 $H$，总存在一个阶为 $p^y$ 的子群 $H'$ 使得 $H\le H'$。
3. 设 $n_p(G)$ 为 $G$ 中 Sylow $p$ 子群的个数，那么 $n_p(G)\equiv 1\pmod{p}$，对于任意 Sylow $p$ 子群 $P$ 都有 $n_p(G)=|G:N_G(P)|$，$n_p(G)\mid m$。