抽象代数(群论)复习笔记
谨以此文,悼念我炸裂的危寄分欸二期中考试。下次不仅要带一个脑子做题,还得带一个脑子盯着它做题,不然第一个脑子容易跑偏刹不住车。得去黑市看一眼最近脑子市价如何,如果太贵还得卖点东西凑一凑。
1. 群
1.1 群的定义
群,是一个由一个集合 G 和一种 G 上的二元运算 ×(在实际表达中我们往往省略乘号不写)组成的二元组 (G,×),并且满足以下三个条件:
- 存在一个特殊元素 e(也可以写作 1)满足 ∀x∈G,ex=xe=x。
- 对于群中每个元素 a 都存在某个 a−1∈G 使得 aa−1=a−1a=1。
- × 满足结合律,即 ∀a,b,c∈G,(ab)c=(ab)c。
如果 × 运算满足交换律,即 ∀x,y∈G,xy=yx,那么又称 G 是一个阿贝尔群。
群有一些基本性质:
- 单位元、每个元素的逆元均唯一。
- (a−1)−1=a。
- (ab)−1=b−1a−1。
1.2 与群相关的其他基本定义
-
阶:对于一个元素 x∈G 而言,定义其阶为最小的正整数 n 满足 xn=1,如果不存在则认为是 +∞。
-
子群:对于一个群 G 而言,定义 H 是 G 的子群,当且仅当 H⊆G,并且满足以下两个条件:
- H 非空(这点很容易被忽视,只有有了单位元才能称得上群)
- ∀x,y∈H,都有 xy−1∈H
特别地,如果 H 大小有限,那么这等价于检验是否对于所有 x,y∈H,都有 xy∈H。
记作 H≤G。
-
生成元:称一个群 G 能被一个集合 S 中的元素生成,当且仅当 G 中每个元素都能由 S 中的元素和它们的逆元进行有限次乘法得到。写作 G=⟨S⟩。其中 S 的元素被称为 G 的生成元。
2. 特殊群
2.1 与数有关的群
- R,Q,Z,C,实数、有理数、整数、复数在加法意义下的群。
- GLn(R),n×n 可逆实数矩阵组成的群。
- Z/nZ(亦写作 Zn)mod 意义下的剩余系在加法意义下的群。
- (Z/nZ)^{\times} 与 n 互质的数在 \bmod n 乘法意义下的群
2.2 克莱因四元群
克莱因四元群 V_4 由 1,a,b,c 四个元素组成,单位元是 1,除了单位元之外每个元素的阶都是 2。它的乘法表如下:
\ | 1 | a | b | c |
---|---|---|---|---|
1 | 1 | a | b | c |
a | a | 1 | c | b |
b | b | c | 1 | a |
c | c | b | a | 1 |
可以证明,任意一个 4 阶群要么同构于 V_4 要么同构于 Z_4,取决于群中存不存在阶为 4 的元素。
2.3 哈密尔顿四元数群
哈密尔顿四元数群 Q_8 由 8 个元素 \pm 1,\pm i,\pm j,\pm k 组成,满足:
-
i·i=j·j=k·k=-1
-
i·j=k,j·i=-k,,j·k=i,k·j=-i,k·i=j,i·k=-j
显然 Q_8 不是阿贝尔群。
2.4 二面体群
二面体群 D_{2n} 由 n 个元素 1,r,r^2,r^3,\cdots,r^{n-1},s,rs,r^2s,\cdots,r^{n-1}s 组成,并且满足 r^n=s^2=1。为什么说它是二面体群呢?因为这些操作可以看作是对空间中两个正 n 边形组成的二面体进行的操作,r 相当于将二面体沿着顺时针方向旋转 \dfrac{2\pi}{n} 之后的结果,s 相当于将二面体上下反转之后的结果。
二面体群不是阿贝尔群。容易证明二面体群 D_{2n} 的生成元满足以下性质:
- 1,r,r^2,\cdots,r^{n-1} 互不相同并且 r^n=1
- s\ne r^j 对所有整数 z 都成立
- 对于 [0,n-1] 中不同的 i,j,sr^i\ne sr^j
- rs=sr^{-1},r^js=sr^{-j}。
2.5 循环群
称一个群 H 是循环群当且仅当 H 可以被一个元素 x,即 H=\lang x\rang。其中 H 可以是有限群也可以是无限群。循环群一定是阿贝尔群。
循环群有以下性质:
- 如果 H=\lang x\rang,那么 |H|=|x|。这条性质对有限群和无限群均成立。
- 对于循环群中的某个元素 x,如果 x^n=x^m=1,那么 x^{\gcd(n,m)}=1。
- 对于循环群中的某个元素 x 以及整数 a\ne 0,如果 |x|=\infty,那么 |x^a|=\infty,否则 |x^a|=\dfrac{n}{\gcd(n,a)}。
2.6 对称群
对于一个大小为 n 的集合 \Omega,记 S_{\Omega} 为所有 \Omega\to \Omega 的双射与复合运算构成的群。特别地,如果脚标上是一个正整数 n,则默认 \Omega=\{1,2,3,\cdots,n\}。我们将这类群称为“对称群”。显然 |S_n|=n!,且对于 n\ge 3,S_n 都不是阿贝尔群。
在抽象代数中我们一般不直接将置换写成排列的形式,而一般用环表示,即将一个置换看作若干个不交的环的乘积。对于一个满足 \sigma(a_1)=a_2,\sigma(a_2)=a_3,\cdots,\sigma(a_m)=a_1 的环,将其记作 (a_1a_2\cdots a_m)。将一个排列所有环并排列出来就得到了这个排列的环表示。
对称群的子群称作置换群。任何一个群都同构于某个置换群。
2.7 交错群
首先我们先需要知道怎么定义 S_n 中一个置换的奇偶性:考虑 n 个独立变量 x_1,x_2,\cdots,x_n,以及一个多项式 \Delta=\prod\limits_{1\le i<j\le n}(x_i-x_j)。对于一 \sigma\in S_n,考虑 \sigma(\Delta)=\prod\limits_{1\le i<j\le n}(x_{\sigma(i)}-x_{\sigma(j)}),如果 \Delta=\sigma(\Delta) 则称 \sigma 为奇置换,否则称 \sigma 为偶置换。一个等价的判定方式是 \sigma 是奇置换当且仅当其环表示中长度为偶数的环的个数是奇数。
在此基础上我们定义 A_n 为所有偶置换构成的群。更进一步地,考虑 \epsilon:S_n\to \{\pm 1\},满足 \epsilon(\sigma)=\begin{cases}+1&(\sigma(\Delta)=\Delta)\\-1&(\sigma(\Delta)=-\Delta)\end{cases},那么因为 \tau\sigma(\Delta)=\prod\limits_{1\le i\lt j\le n}(x_{\tau(\sigma(i))}-x_{\tau(\sigma(j))})=\epsilon(\sigma)\prod\limits_{1\le p\lt q\le n}(x_{\tau(p)}-x_{\tau(q)})=\epsilon(\sigma)\epsilon(\tau)\Delta,故 \epsilon 可以看作是 S_n 到 Z_2 上的同态。这样可以很自然地定义 A_n 为该同态的核。根据这一点可知,对于 n\ge 2 而言有 A_n\unlhd S_n 且 |A_n|=\dfrac{n!}{2}。这一类群被称为交错群。
当 n\ge 5 时,A_n 都是单群,并且 S_n 只有 A_n 这一个非平凡正规子群。
3. 同态与同构相关
3.1 同态
对于两个群 (G,\star) 和 (H,\diamond),如果存在一个 G\to H 的映射 \varphi 满足 \forall x,y\in G,\varphi(x\star y)=\varphi(x)\diamond\varphi(y),那么称 \varphi 为群 G 到群 H 的同态。
同态的核 \ker\varphi 定义为 1 的原像,即 \ker\varphi=\{g\in G|\varphi(g)=1\}。
若 \varphi:G\to H 为 G 到 H 的同态,那么可以证明以下几条性质成立:
- \varphi(1_G)=1_H
- \varphi(g^{-1})=\varphi(g)^{-1}
- \varphi(g^n)=\varphi(g)^n
- \ker\varphi\le G
- \text{im}(\varphi)=\varphi(G)\le H
3.2 同构
在上文同态的定义中,更进一步地,如果 \varphi 是双射,那么称 \varphi 为群 G 到群 H 的同构。如果存在 \varphi 使得 \varphi 为群 G 到群 H 的同构,那么称 G,H 是同构的,记作 G\cong H。
不难证明,如果 G\cong H 并且 \varphi 是 G 到 H 的同态,那么以下条件必然成立:
- |G|=|H|
- 两个群要么都是阿贝尔群要么都不是
- \forall x\in G, |x|=|\varphi(x)|
很容易发现,如果两个群同构,那么实际上两个群之间只有元素的表示不同,或者说,H 可以看作将 G 中元素重标号以后的结果,因此同构是一个非常强的性质。两个同构的群只用研究一个就可以知道另一个的性质。
3.3 四大同构定理
第一群同构定理
若 \varphi 是一个 G\to H 的同态,那么 \ker\varphi 是 G 的正规子群,并且 G/\ker\varphi\cong\varphi(G),
第一同构定理的意义在于,它揭示了满同构与商群的关系,即一个商群实际上就是其对应的满同构的像集组成的群,这样我们可以从某种程度上避开对“商群”这种由陪集组成的抽象的概念的讨论,转而去讨论像集这种相对具体的概念。
第二群同构定理
若 A,B\le G,A\le N_G(B),那么 AB\le G, A\cap B\unlhd A,并且 AB/B\cong A/(A\cap B)。
第二群同构定理又被称为“菱形同构定理”,主要原因是将 A,B,AB,A\cap B 四者的格画出来之后,形状似一菱形。
第三群同构定理
若 H,K\unlhd G,并且 H\le K,那么 K/H\unlhd G/H,并且 (G/H)/(K/H)\cong G/K。
第四群同构定理
若 N 是 G 的正规子群,那么每个 G 的包含 N 的子群都与 G/N 的每个子群一一对应。具体来说,每个 \bar{G}=G/N 的子群 \bar{A} 都可以被写成 A/N 的形式,其中 A\le G,N\le A,并且满足以下条件:
- A\le B 当且仅当 \bar{A}\le \bar{B}。
- 若 A\le B,则 |B:A|=|\bar{B}:\bar{A}|。
- \bar{\lang A,B\rang}=\lang\bar{A},\bar{B}\rang。
- \bar{A\cap B}=\bar{A}\cap\bar{B}。
- A\unlhd G 当且仅当 \bar{A}\unlhd\bar{G}。
第四群同构定理又被称为“格定理”,主要原因是,它揭示了 G 的格中正规子群 N 上方的部分与 G/N 的格是完全一样的。
4. 商群和正规子群
4.1 中心化子和正规化子
- 中心化子:对于 G 的一个子集 S,定义 S 在 G 中的中心化子 C_G(S) 是 G 中所有能与 S 中每一个元素交换的元素组成的集合,即 \{g|g\in G,ga=ag,\forall a\in S\}。
- 正规化子:对于 G 的一个子集 S,定义 S 在 G 中的正规化子 N_G(S) 是满足 gSg^{-1}=S 的 g 组成的集合,其中 gSg^{-1}=\{gag^{-1}|a\in S\}。
- 中心:对于一个群 G,定义其中心为能与 G 中所有元素交换的元素组成的集合,即 C_G(G),记作 Z(G)。
对于任意子集 S 而言,可以证明其中心化子和正规化子组成的集合都是 G 的子群,并且满足 Z(G)\le C_G(S)\le N_G(S)。
4.2 商群
关于商集,最原始的定义实际上是从同态入手的。
考虑 G\to H 的某个同态 \varphi,对于 \varphi 像集中的某个元素 a,我们定义这个点的 fiber 为满足 \varphi(x)=a 的 x 组成的集合,记作 X_a,那么考虑由所有 X_a 组成的集合,并且定义 fiber 之间的乘法为 X_aX_b=X_{ab}。因为 \varphi 的像集 \text{im}(\varphi) 是 H 的一个子群,因此这个 X_a 组成的集合其存在单位元 X_1、逆元 X_{a^{-1}},并且满足结合律,故其构成了一个群。我们称这样的群为商群,记作 G/\ker\varphi。
但是这个定义显得有点抽象且不易理解。另一种比较直观的理解方式则是从“陪集”角度入手的。
考虑上文中所说的同态的核 K=\ker\varphi,对于任意一个 a\in\text{im}(\varphi),令 X=\varphi^{-1}(a),我们发现如下两个性质成立:
- \forall u\in X,X=\{uk|k\in K\}=uK。
- \forall u\in X,X=\{ku|k\in K\}=Ku。
证明:显然两个命题是镜像的,故只证明(1)。令 u\in X,那么 \varphi(u)=a。首先 \forall k\in K, \varphi(uk)=\varphi(u)\varphi(k)=a,故 uk\in X,uK\subseteq X。另一方面,\forall g\in X,k=u^{-1}g \varphi(k)=\varphi(u)^{-1}\varphi(g)=1,k\in\ker\varphi,g=uk\in uK,X\subseteq uK。两者结合起来可以得到 uK=X。
我们称这样的 uK 为“左陪集”,Ku 为“右陪集”。这个性质告诉我们,上文中定义的“fiber”实际上和这个同态的核的左右陪集是等价的。也就是说,对于某个 fiber X_a,我们可以将 X_a 看作任意一个 x\in X_a 关于 K 的左(右)陪集 xK。对于两个不同的陪集 aK,bK,定义 (aK)·(bK)=(ab)K。因为所有 fiber 构成了一个群,所以这个乘法也必然是良定义的,这些陪集与乘法运算也构成了一个群。这样我们就给出了商群更常用的定义。
我们希望这个定义更简洁一些,比方说把这个同态也省略了,因为实际上在上文中有关陪集的定义之下,有用的部分只有这个同态的核,知道了核以后也就知道所有左右陪集,也进而能定义这些陪集之间的乘法。因此我们很自然地有这样一个想法:仅仅给出一个 G 的子集 N,然后用所有 gN 组成的集合来定义这个群是否可行呢?
不完全可行。显然,你任取一个 G 的子集,它甚至不一定是 G 的一个子群,这样得到的 gN 很可能是杂乱无章的,自然也没有什么性质可言。
那如果 N 是 G 的一个子群是否就能定义了呢?
首先,我们有这样的性质:如果 N 是 G 的一个子群,那么所有 gN 组成了 G 的一组划分,并且 uN=vN 当且仅当 u,v 在同一组划分里,也当且仅当 uv^{-1}\in N。
证明:因为 N\le G, 1\in N,g=g·1,所以 G=\cup_{g\in G}gN。进一步地,如果 uN\cap vN\ne\varnothing,那么 \exists x\in uN\cap vN,设 x=un=vm,其中 n,m\in N,那么 u=vmn^{-1},而 \forall ut\in uN,ut=vmn^{-1}t\in vN,故 uN\subseteq vN。类似地 vN\subseteq uN,故 uN=vN。这样我们知道 uN=vN\Leftrightarrow u\in vN\Leftrightarrow v^{-1}u\in N,得证。
但是我们还发现,如果 G=D_8,N=\{1,s\},那么 1·r·N=\{r,rs\},s·r·N=\{r^3s,r^3\},但是 1,s 在同一个左陪集里。这意味着在这种情况下对于同样两个陪集,你选取不同的 u,v,它们得到的 (uv)N 可能不同!这样 (uN)·(vN) 就不是良定义的。这意味着即便 N 是 G 的一个子群,N 的左陪集和右陪集都存在,也不一定能在左陪集的集合上定义乘法,进而不一定存在对应的商集。
4.3 正规子群
说了这么多,究竟什么样的 N 存在商集呢?事实上结论是这样的,对于 N\le G,uN·vN=(uv)N 是良定义的当且仅当 gng^{-1}\in N 对一切 \forall g\in G,n\in N 都成立。
证明:假设乘法运算是良定义的,即 \forall u,v\in G,如果 uu_1\in uN,vv_1\in vN,那么 uvN=u_1v_1N,那么考虑 \forall g\in G,\forall n\in N,令 u=1,u_1=n,v=v_1=g^{-1},可得 1g^{-1}N=ng^{-1}N,即 g^{-1}N=ng^{-1}N,而因为 1\in N, ng^{-1}\in ng^{-1}N=g^{-1}N,故 ng^{-1}=g^{-1}n_1,其中 n_1\in N,这样有 gng^{-1}=n_1\in N。
另一方面,如果 gng^{-1}\in N 对所有 \forall g\in G,n\in N 都成立,那么令 u,u_1\in uN,v,v_1\in vN,将 u_1 写成 un 的形式,v_1 写成 vm 的形式,其中 n,m\in N,那么 u_1v_1=unvm=uvv^{-1}nvm=uv(n_1m),其中 n_1=v^{-1}nv\in N,这样 u_1v_1\in uvN,这个乘法运算就是良定义的。
将这样的子群 N 定义为 G 的正规子群,写作 N\unlhd G。容易证明 N\unlhd G 这个条件与以下五者都等价:
- N_G(N)=G。
- 对所有 g\in G 都有 gN=Ng。
- 对所有 \forall g\in G 都有 gNg^{-1}=N。
- 在 N 的陪集上定义的运算 (aN)·(bN)=(ab)·N 是良定义的。
- 存在某个 G\to H 的同态 \varphi 使得 N 是 \varphi 的核。
正规子群不一定具有传递性,即 K\unlhd H,H\unlhd G 并不能推出 K\unlhd G。但是如果 K,H\unlhd G,必然有 K\cap H\unlhd G,即正规子群的交一定是正规子群。
说了这么多,实际上我们可以用这样一种直观的方式来理解商群:商群 G/N 将 G 中 N 集合中的元素”坍缩“为单位元以后的结果,所有 xy^{-1}\in N 都被归入同一个集合。对于两个集合,定义它们相乘以后的结果为从两个集合中任取一个元素做乘法后,乘积所在的集合。
4.4 与商群相关的一些定理
拉格朗日定理
对于有限群 G,若 H\le G,那么 |H| 是 |G| 的因数,并且 H 在 G 中不同左(右)陪集的数量为 \dfrac{|G|}{|H|}。
对于 H\le G,定义 H 在 G 中的指数 |G:H| 为 H 在 G 中不同左(右)陪集的数量。如果 G 是有限群,那么 |G:H|=\dfrac{|G|}{|H|}。注意,即便 G,H 不是有限群,|G:H| 也可能有限,因此有时候出现这个符号时需要考虑 G,H 为无限群的情况。
推论 1:如果 G 是有限群,那么 \forall x\in G,|x| 是 |G| 的因数。
推论 2:如果 |G| 是质数,那么 G 必然是循环群,即 G\cong Z_{|G|}。
欧拉定理
若正整数 a,n 满足 (a,n)=1,则 a^{\varphi(n)}\equiv 1\pmod{n}。
费马小定理是该定理的弱化版:对于质数 p 及任意整数 a 都有,a^p\equiv a\pmod{p}。
4.5 换位子群
对于一个群 G 中两个元素 x,y,定义 x,y 的交换子 [x,y] 为 x^{-1}y^{-1}xy,定义 G 的换位子群 G'=\lang[x,y]|x,y\in G\rang。显然,[x,y]=1 当且仅当 xy=yx,并且因为 x^{-1}y^{-1}=(yx)^{-1},所以实际上“交换子”可以看作是衡量 xy 和 yx 的“差距”的量。
交换子和换位子群满足以下性质:
- xy=yx[x,y]
- H\unlhd G 当且仅当 \forall h\in H,g\in G,[h,g]\in H。
- 对任意自同构 \sigma 都有 \sigma([x,y])=[\sigma(x),\sigma(y)]。G' 是 G 的特征子群并且 G/G' 是阿贝尔群。
- G' 是 G 中最小的使得 G/G' 为阿贝尔群的正规子群。
5. 单群、合成列与可解群
5.1 单群与合成列
单群:一个群 G 是单群当且仅当 |G|>1 且其正规子群只有 1 和 G。
质数阶群一定是单群。
合成列:一个由 G 的子群构成的序列 1=N_0\le N_1\le N_2\le N_3\cdots\le N_k=G 称为 G 的合成列当且仅当 N_i\unlhd N_{i+1} 并且 N_{i+1}/N_i 是单群,其中 0\le i\lt k。
Jordan-Holder 定理:对于任意一个阶大于 1 的群 G,G 的合成列均存在,并且所有合成列的 \{N_{i+1}/N_i\} 组成的集合都是相同的。
Feit-Tompson 定理:若群 G 是单群并且其阶是奇数,那么 |G| 必然是质数。
5.2 可解群
一个群 G 被称为可解群当且仅当存在一个由 G 的子群构成的序列 1=G_0\unlhd G_1\unlhd G_2\unlhd\cdots\unlhd G_s=G 满足 G_{i+1}/G_i 都是阿贝尔群,其中 0\le i\lt s。
Phillip-Hall 定理:一个群是可解群当且仅当对于所有满足 n\mid|G| 且 \gcd(n,\dfrac{|G|}{n})=1 的 n,G 中都存在一个阶为 n 的子群。
对于 G 的某个正规子群 N,如果 N,G/N 都是可解群,那么 G 也是可解群。
反过来,可解群的子群和商群也都是可解群。
6. 群作用
6.1 群作用的定义
设 G 是一个群,A 是一个非空集合,那么一个 G 在 A 上的群作用是一个从 G\times A\to A 的映射,记作 g\cdot a,满足以下两个条件:
- \forall g_1,g_2\in G,a\in A,都有 g_1\cdot(g_2\cdot a)=(g_1g_2)\cdot a。
- \forall a\in A,1\cdot a=a。
在此基础上我们定义:
- 群作用的核为满足 \forall a\in A 都有 g\cdot a=a 的 g 组成的集合。
- 对于 a\in A,定义 a 的稳定子群 G_a 为满足 g\cdot a=a 的 g 组成的集合。
- 称一个群作用是忠实的,当且仅当这个群作用的核中有且仅有单位元。
我们发现,如果存在 g\in G,a\ne b\in A 满足 g·a=g·b,那么两边同时左乘 g^{-1} 可得 1·a=1·b,这显然不成立。换句话说,对于每个元素 g\in G,考虑一 A\to A 的映射 \sigma_g 满足 \sigma_g(a)=g\cdot a,那么 \sigma_g\in S_A,即 \sigma_g 是 A 上的一个排列。也就是说,我们可以将 g 中的每个元素视作一个 A 上的排列,即 \varphi:G\to S_A 且 \varphi(g)=\sigma_g。容易验证 \varphi 是一个 G\to S_A 的同态。我们称这样的 \varphi 为该群作用的置换表示。反过来,也容易验证一个 G\to S_A 的同态可以视作 G 在 A 上的群作用。也就是说,研究群作用本质上就是研究 G\to S_A 的同态。
6.2 群作用的轨道
考虑 A 上的关系 \sim,我们称 a\sim b,当且仅当存在 a 使得 g\cdot a=b,那么 \sim 是一个等价关系,因其满足:
- 自反性:a=1·a,故 a\sim a。
- 斜对称性:若 a\sim b,则存在 g\in G 使得 a=g·b,那么 g^{-1}·a=b,故 b\sim a。
- 传递性:若 a\sim b,b\sim c,那么存在 g,h\in G 使得 a=g·b,b=h·c,故 a=g·(h·c)=(g·h)·c,a\sim c。
称这样的等价类为该群作用的一个轨道。特别地,如果 A 中只有一个轨道,则称该群作用是传递的。
(轨道稳定子定理)对于任意一元素 a\in A,与 a 在同一个轨道中的元素个数为 |G:G_a|,即 a 的稳定子群的指数。
证明:考虑构造一个 G_a 在 G 中的左陪集与集合 \bar{a}=\{g·a|g\in G\} 中的元素的双射,设 b=g·a,那么 gG_a 是一个 G_a 在 G 中的左陪集,而因为 \forall g\in G,g·a\in\bar{a},所以 b\to gG_a 满射。更进一步,若 gG_a=hG_a,则 h^{-1}g\in G_a,g·a=h·a,所以这个映射同时也是单射,进而是一个双射。故 |\bar{a}|=|G:G_a|。
6.3 一些经典的群作用
左正则表示
对于任意一个群 G,考虑令 A=G,并且 g·a=ga,这样我们就得到了 G 通过左乘作用于自身的群作用,即该群的左正则表示。类似地也可以定义右正则表示。
不难,该群作用是忠实且传递的,并且对于任意 g\in G,g 的稳定子群都只有单位元。
考虑这个群作用的置换表示。因为每个群作用都对应一个 G\to S_A 的同态 \varphi,而这一群作用中 \ker\varphi=1,根据第一同构定理,G\cong\text{im}(\varphi),而后者是 S_G 的一个子群。这样我们证明了凯莱定理——任意一个群都同构于某个置换群。
作用于左陪集的群作用
对于某一群 G,设 H\le G ,考虑将 G 作用于 H 在 G 中的所有左陪集集合 A,即,对于 g\in G,hH\in A,我们定义 g\cdot hH=(gh)H,显然这是一个良定义的群作用(哪怕 H 并不是 G 的正规子群,因为只要 H 是 G 的子群,那么 H 中 G 中的陪集总是存在,并且形成了 G 的一组划分),设 \pi_H 为该群作用对应的置换表示,那么这个群作用有以下性质:
- 该群作用是传递的
- 1H\in A 的稳定子群就是 H
- 该群作用的核 \ker\pi_H=\cap_{x\in G}xHx^{-1},并且它是包含于 H 中的最大的正规子群。
证明:
任取 A 中两元素 aH,bH,令 g=ba^{-1},有 gaH=bH,得证。
因为 H 是 G 的子群,故该性质显然成立。
根据 \pi_H 的定义有
\begin{aligned} \ker\pi_H&=\{g\in G|gxH=xH,\forall x\in G\}\\ &=\{g\in G|(x^{-1}gx)H=H,\forall x\in G\}\\ &=\{g\in G|g\in xHx^{-1},\forall x\in G\}\\ &=\cap_{x\in G}xHx^{-1} \end{aligned}而另一方面 \ker\pi_H\unlhd G,\ker\pi_H\unlhd H,若 N 是任意 G 的正规子群满足 N\le H,那么 N=xNx^{-1}\le xHx^{-1},故 N\le\cap_{x\in G}xHx^{-1}=\ker\pi_H。
共轭群作用
和左正则表示类似,共轭群作用也是一个群 G 作用在其自身上的群作用。具体来说,令 A=G,并且 g·a=gag^{-1},这样的群作用称为 G 的共轭群作用。在次基础上我们定义两个元素 x,y 共轭,当且仅当存在 g\in G 使得 gxg^{-1}=y,对于两个集合之间也有类似的定义。
如果 |G|>1,那么 1 必然独立形成一个轨道,故这种情况下该群作用一定不是传递的。
根据轨道稳定子定理,对 G 的任意一个子集 S 而言,与 S 共轭的集合个数就是 |G:G_S|,而 G_S=N_G(S),故其等于 |G:N_G(S)|。特别地,如果 S 由单个元素 s 组成,那么 N_G(S)=C_G(S),用轨道的语言来描述就是 s 所在的轨道大小为 |G:C_G(s)|。
将这个性质进行推广,我们可以得到该群的类方程:|G|=|Z(G)|+\sum\limits_{a\in A}|G:C_G(a)|,其中 A 为所有非平凡轨道的代表元。特别地,如果 G=p^{\alpha},其中 p 为质数,\alpha\in\mathbb{Z},那么因为加号后面的部分都是 p 的倍数,故 |Z(G)| 也是 p 的倍数,即这个群的中心一定是非平凡的。
7. 自同构
7.1 自同构的定义与内自同构群
自同构,顾名思义,就是一个群 G 到自身的同构组成的子群,记作 \text{Aut}(G)。显然 \text{Aut}(G)\le S_G。
在所有自同构中,最重要的一类是由共轭定义的自同构。考虑群 G 的任一正规子群 H,那么 \forall x\in G,考虑 \sigma_x:H\to H,满足 \sigma_x(h)=xhx^{-1},那么容易证明 \sigma_x\in\text{Aut}(H)。更进一步地,所有这样的 \sigma_x 又构成了一个 G\to\text{Aut}(H) 的同态 \psi 满足 \psi(x)=\sigma_x,而因为这个同态的核 \ker\psi=C_G(H),故 G/C_G(H) 必然与 \text{Aut}(H) 某个子群同构。
特别地,若 G=H,那么我们称所以 \sigma_x 组成的群为 G 的内自同构群,记作 \text{Inn}(G)。在这种情况下 \text{im}(\psi)=\text{Inn}(G),\ker\psi=Z(G),故根据第一同构定理,\text{Inn}(G)\cong G/Z(G)。
对于循环群 Z_n 而言,有 \text{Aut}(Z_n)\cong(Z/nZ)^{\times}。
7.2 特征子群
对于 G 中某个子群 H\le G,称 H 是 G 的特征子群当且仅当对于所有 G 的自同构 \sigma,都有 \sigma(H)=H。特征子群满足以下性质:
- 特征子群必定也是正规子群。
- 若 G 中有且仅有 H 这一个 |H| 阶子群,那么 H 是 G 的特征子群。
- 若 K 是 H 的特征子群,H\unlhd G,那么 K\unlhd G。注意,如果将两边的“特征子群”和“正规子群”的顺序颠倒,即外面是特征子群里面是正规子群,则命题不成立。
7.3 Sylow 定理
对于一个阶为 p^{\alpha}·m 的群 G,其中 \alpha\in\mathbb{Z}^+,(m,p)=1,定义一个群 H\le G 是其 p 子群当且仅当存在 \beta\in\mathbb{Z}^+ 使得 p^{\beta}=|H|。定义一个群 H\le G 是其 Sylow p 子群当且仅当 |H|=p^{\alpha}。
Sylow 定理的内容如下:
- 对任意质数 p\mid|G|,Sylow p 子群总是存在的。
- 任意两个 Sylow p 子群都是共轭的,并且对于任意 x\le y\le\alpha 以及任意一个阶为 p^x 的子群 H,总存在一个阶为 p^y 的子群 H' 使得 H\le H'。
- 设 n_p(G) 为 G 中 Sylow p 子群的个数,那么 n_p(G)\equiv 1\pmod{p},对于任意 Sylow p 子群 P 都有 n_p(G)=|G:N_G(P)|,n_p(G)\mid m。
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