微积分 A(2) 学习笔记

多元函数的极限与连续性

多元函数的定义

多元函数是依赖有限多个（多余一个）连续变量的函数

\[f(x^1,x^2,\cdots,x^n) \]

\[f:U\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} \]

在多元微积分中常常用顶标表示下标。

空间中的距离

集合 \(M\) 上的距离是一个映射 \(d:M\times M\to R\) 满足：

1. 正定性：\(\forall \bold{x},\bold{y}\in M,d(\bold{x},\bold{y})\ge 0\)，\(d(\bold{x},\bold{y})=0\) 当且仅当 \(\bold{x}=\bold{y}\)。
2. 正齐次性：\(\forall \bold{x},\bold{y}\in M,d(\bold{x},\bold{y})=d(\bold{y},\bold{x})\)。
3. 三角形不等式：\(\forall \bold x,\bold y,\bold z\in M\)，\(d(\bold{x},\bold{z})\le d(\bold{x},\bold{y})+d(\bold{y},\bold z)\)。

其中 \(M=\mathbb{R}^n\) 或者 \(\mathbb{R}^n\) 中的曲线、曲面或者函数空间。

范数

范数是一个 \(\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\) 的映射，记作 \(\lVert\bold{x}\rVert\)，满足：

1. \(\forall\bold{x}\in\mathbb{R}^n\)，\(\lVert\bold{x}\rVert\ge 0\)，且 \(\lVert\bold{x}\rVert=0\) 当且仅当 \(\bold{x}=0\)。
2. \(\forall\lVert\bold{x}\rVert\in\mathbb{R}^n,\forall\lambda\in\mathbb{R}\)，\(\lVert\lambda\bold{x}\rVert=|\lambda|\lVert x\rVert\)。
3. \(\forall\bold{x},\bold{y}\in\mathbb{R}^n,\lVert\bold{x}+\bold{y}\rVert\le\lVert\bold{x}\rVert+\lVert\bold{y}\rVert\)。

根据范数，我们可以确定一个满足平移不变性质的距离：

\[d(\bold{x},\bold{y})=\lVert\bold{x}-\bold{y}\rVert \]

事实上，范数的选择不是唯一的，考虑

\[\lVert\bold x\rVert_p=(|x^1|^p+|x^2|^p+\cdots+|x^n|^p)^{\frac{1}{p}} \]

对于所有 \(p\ge 1\)，\(\lVert\bold x\rVert_p\) 均是 \(\mathbb{R}^n\) 上的范数（即满足范数的三条限制）。特别地，\(1\)-范数为向量每一维绝对值相加后的结果，\(2\)-范数为常义上的欧几里得距离，\(\infty\)-范数为向量每一维绝对值的最大值。

内积

内积是一个 \(\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\) 的映射 \(B\)，满足：

1. 对称性：\(B(\bold x,\bold y)=B(\bold y,\bold x)\)。
2. 双线性：\(B(\lambda\bold{x}+\mu\bold{y},\bold{z})=\lambda B(\bold{x},\bold{z})+\mu B(\bold{y},\bold{z}),B(\bold{z},\lambda\bold{x}+\mu\bold{y})=\lambda B(\bold{z},\bold{x})+\mu B(\bold{z},\bold{y})\)。
3. 正定性：\(B(\bold{x},\bold{x})\ge 0\)，且 \(B(\bold{x},\bold{x})=0\) 当且仅当 \(\bold{x}=0\)。

将 \(B(\bold{x},\bold{y})\) 记作 \(\bold{x}·\bold{y}\) 或者 \(\lang\bold{x},\bold{y}\rang\)。

由内积可以得到欧几里得范数：\(\lVert\bold{x}\rVert=\sqrt{\bold{x}·\bold{x}}\)。在所有 \(p\)-范数中只有 \(2\)-范数能通过这种方式得到。

与极限有关的定义

对于有限维空间 \(V=\mathbb{R}^n\)，定义

• 邻域、内点：称 \(U\) 是 \(\bold{x_0}\in V\) 的一个邻域或者 \(\bold{x_0}\) 为 \(U\) 的一个内点当且仅当存在 \(r>0\) 使得对于所有 \(\lVert\bold{x}-\bold{x_0}\rVert<r\)，都有 \(\bold{x}\in U\)。

• 开集：称 \(U\) 是一个开集，当且仅当 \(U\) 中每个点都是内点。

• 聚点：称 \(\bold{x_0}\) 是 \(U\) 的一个内点，当且仅当 \(\forall\epsilon>0\)，都 \(\exists\bold{x}\in U\) 使得 \(0<\lVert\bold{x}-\bold{x_0}\rVert<\epsilon\)。

• 闭集：称 \(U\) 是一个闭集，当且仅当 \(U\) 的所有聚点都在 \(U\) 内部。

对于两个空间 \(U,V\) 和一将 \(U\) 映射到 \(V\) 的函数 \(f\)，设 \(\lVert·\rVert_U\) 和 \(\lVert·\rVert_V\) 为两个空间上的范数，那么

• \(\lim\limits_{\bold{x}\to\bold{x_0}}f(\bold{x})=\bold{y}\)，当且仅当 \(\forall\epsilon>0\)，都 \(\exists\delta>0\) 使得 \(0<\forall\lVert\bold{x}-\bold{x_0}\rVert_U<\delta\)，都有 \(\lVert\bold{y}-\bold{f(x)}\rVert_V<\epsilon\)。
• \(f(\bold{x})\) 在 \(\bold{x_0}\) 处连续，当且仅当 \(\forall\epsilon>0\)，都 \(\exists\delta>0\) 使得 \(0<\forall\lVert\bold{x}-\bold{x_0}\rVert_U<\delta\)，都有 \(\lVert\bold{f(x_0)}-\bold{f(x)}\rVert_V<\epsilon\)。

对于有限维空间 \(V=\mathbb{R}^n\) 中的点列 \(\bold{x}_n\) 定义

• \(\lim\limits_{n\to+\infty}\bold{x}_n=\bold{x}\)，当且仅当 \(\forall\epsilon>0\)，都 \(\exists N\ge 1\) 满足 \(\forall n\ge N\)，都有 \(\lVert \bold{x}_n-\bold{x}\rVert<\epsilon\)。
• \(\{\bold{x}_n\}\) 是一个柯西序列，当且仅当 \(\forall\epsilon>0\)，都 \(\exists N\ge 1\) 满足 \(\forall i\ge j\ge N\)，都有 \(\lVert \bold{x}_i-\bold{x}_j\rVert<\epsilon\)。

这些都与一元微积分的情况大同小异，只不过把绝对值改成了范数而已。

函数连续性的定义

令 \(f:(A\subseteq V)\to W\)，对于 \(\bold{x_0}\in V\)，称 \(\lim\limits_{\bold{x}\to\bold{x_0}}f(\bold{x})=\bold{L}\)，当且仅当：

• \(\bold{x_0}\) 是 \(f\) 定义域 \(A\) 的聚点。
• \(\forall\epsilon>0\)，存在 \(\delta>0\) 使得 \(\forall\bold{x}\in A\)，若 \(0<\lVert\bold{x}-\bold{x_0}\rVert<\delta\)，则 \(\lVert f(\bold{x})-\bold{L}\rVert<\epsilon\)。

称 \(f\) 在 \(\bold{x_0}\) 处连续，当且仅当 \(\bold{x_0}\in A\)，并且 \(\forall\epsilon>0\)，存在 \(\delta>0\) 使得 \(\forall\bold{x}\in A\)，若 \(0<\lVert\bold{x}-\bold{x_0}\rVert<\delta\)，则 \(\lVert f(\bold{x})-f(\bold{x_0})\rVert<\epsilon\)。初等函数的四则运算与复合在定义域内都是连续函数，使用这一点证明连续性比直接用定义方便。

任何范数都与无穷范数等价

对任意范数 \(\lVert ·\rVert\)，都存在常数 \(M_1,M_2\) 满足

\[M_1\lVert\bold{x}\rVert_{\infty}\le\lVert\bold{x}\rVert\le M_2\lVert{x}\rVert_{\infty} \]

换句话说，多元函数的极限与连续性与范数的选择无关。

一些与连通有关的定义

道路连通集：称一个集合 \(U\) 是道路连通的，当且仅当 \(\forall P,Q\in A\)，存在连续映射 \(\phi:[0,1]\to U\) 使得 \(\phi(0)=P,\phi(1)=Q\)。

有以下两条性质：

1. 连续函数把道路连通集映到道路连通集。
2. 连续函数把有界闭集映到有界闭集。

重极限与累次极限

对于多元函数而言，称将所有变量同时取极限所得的极限称为重极限，称先对其中一个变量取极限，再对其他变量取极限得到的极限称为累次极限。

以二元函数 \(f(x,y)\) 为例，重极限指

\[\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y) \]

累次极限指

\[\lim\limits_{x\to x_0}\lim\limits_{y\to y_0}f(x,y) \]

和

\[\lim\limits_{y\to y_0}\lim\limits_{x\to x_0}f(x,y) \]

对于二元函数而言，有以下结论：

• 如果三个极限均存在，那么三个极限必须相等。
• 如果两个累次极限均存在但不相等，那么重极限必然不存在。

但是如果两个累次极限均存在并且相等，并不能推出重极限一定存在（反例：考虑函数 \(f(x,y)\)，满足当 \(y=x^2\) 且 \(x\ne 0\) 时 \(f(x,y)=1\)，其余位置均为 \(0\)，那么 \(f(x,y)\) 两个累次极限均为 \(0\)，但是重极限不存在）。

求多元函数在某点处的极限，一种常见的方法是放缩然后用夹逼定理转化为一元的情况处理。

压缩不动点定理

对于空间 \(V\) 中的非空闭集 \(A\)，映射 \(f:A\to V\) 满足：

1. \(f(A)\subset A\)
2. \(\exists\lambda\in(0,1)\) 满足 \(\forall\bold{x},\bold{y}\in A\)，\(\lVert f(\bold{x})-f(\bold{y})\rVert\le\lambda\lVert\bold{x}-\bold{y}\rVert\)

那么存在唯一的 \(\bold{x^*}\in A\) 满足 \(f(\bold{x^*})=\bold{x^*}\)，并且 \(\lVert f^n(\bold{x})-\bold{x^*}\rVert\le\dfrac{\lambda^n}{1-\lambda}\lVert f(\bold{x})-\bold{x}\rVert\)。

多元函数的微分

微分

对于线性空间 \(V\) 中的开集 \(A\)，称映射 \(f:A\to W\) 在 \(\bold{a}\in A\) 处可微，当且仅当存在线性映射 \(L:V\to W\) 满足当 \(\bold{x}\) 趋近于 \(0\) 时：

\[f(\bold{a}+\bold{x})=f(\bold{a})+L(\bold{x})+o(\bold{x}) \]

称 \(L\) 为 \(\bold{a}\) 处的微分，记作 \(\mathrm Df(\bold{a})=L\)。

多元函数的微分也满足链索法则：设 \(A,B\) 为线性空间 \(V,W\) 中的开集，\(f:A\to W\) 在 \(\bold{a}\in A\) 处可微，\(g:B\to Z\) 在 \(\bold{b}=f(\bold{a})\in B\) 处可微，那么 \(g\circ f\) 在 \(\bold{a}\) 处可微，并且

\[\mathrm D(g\circ f)(\bold{a})=\mathrm Dg(\bold{b})\circ \mathrm Df(\bold{a}) \]

导数

对于映射 \(f:\mathbb{R}\to W\) 和 \(a\in\mathbb{R}\)，如果极限

\[\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{f(a+t)-f(a)}{t} \]

存在，那么称函数在 \(a\) 处可导，并且称该极限的值为函数在 \(a\) 处的导数。

梯度

对于内积空间 \(V\)，\(V\) 上的所有线性函数 \(L:V\to R\) 都可以表示为内积的形式，即存在向量 \(\bold{b}\in V\)，使得 \(\forall\bold{x}\in V\)，都有

\[L(\bold{x})=\lang\bold{b},\bold{x}\rang \]

符合要求的 \(\bold{b}\) 称为 \(L\) 的梯度。

对可微函数 \(f:V\to\mathbb{R}\)，微分 \(\mathrm df(\bold{a})\) 的梯度称为 \(f\) 在 \(\bold{a}\) 处的梯度，记作 \(\text{grad} f(\bold{a})\) 或 \(\nabla f(\bold{a})\)。

\[\mathrm df(\bold{a})(\bold{x})=\lang\text{grad} f(\bold{a}),\bold{x}\rang \]

方向导数

对于映射 \(f:A\to W\)，其中 \(A\) 为非空空间 \(V\) 中的非空开集，\(\bold{a}\in A,\bold{v}\in V\)，如果极限

\[\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{f(\bold{a}+t\bold{v})-f(\bold{a})}{t} \]

存在，则称该极限为 \(\bold{a}\) 处沿向量 \(\bold{v}\) 的导数。记作 \(\partial_{\bold{v}}f(\bold{a})\)。

若 \(\lVert\bold{v}\lVert=1\)，则称 \(\partial_{\bold{v}}f(\bold{a})\) 为 \(\bold{a}\) 处沿方向 \(\bold{v}\) 的方向导数。

当 \(f\) 在 \(\bold{a}\) 处可微时，\(f\) 沿每个方向都有方向导数，且 \(\partial_{\bold{v}}f(\bold{a})\) 关于 \(\bold{a}\) 是线性的。

但是如果 \(\partial_{\bold{v}}f(\bold{a})\) 都存在，并且关于 \(\bold{a}\) 是线性，并不能说明 \(f\) 在 \(\bold{a}\) 处可微。

• 反例 \(1\)：\(f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{x^3+y^3}{x^2+y^2}&(x^2+y^2\ne 0)\\0&(x^2+y^2=0)\end{cases}\)，则 \(\partial_{(x,y)}f(0,0)=\dfrac{x^3+y^3}{x^2+y^2}\)，这样 \(\partial_{(0,1)}f(0,0)=\partial_{(1,0)}f(0,0)=\partial_{(1,1)}f(0,0)=1\)，关于 \((x,y)\) 并不是线性的，所以即使每个方向导数都存在，也不一定存在重极限。
• 反例 \(2\)：考虑一个函数，\(f(0,0)=1\)，对于过原点的倾角为 \(\theta\) 的直线，我们让这条直线上离原点距离 \(\le g(\theta)\) 的点的 \(f\) 值为 \(1\)，其余点的 \(f\) 值为 \(0\)。因为方向有无限多个，所以我们可以构造函数 \(g\) 使得 \(\lim\limits_{\theta\to 0}g(\theta)=0\)，但 \(g(0)\ne 0\)，这样每个方向上的方向导数都是 \(0\)，但函数 \(f\) 在 \((0,0)\) 处甚至不是连续的！更不用说重极限了。

偏导数

在多元映射 \(f:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}\) 中，只让一个坐标 \(x^k\) 变化，其余坐标不变，则可以让 \(f\) 成为关于 \(x^k\) 的一元函数。如果极限

\[\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{f(x^1,x^2,\cdots,x^k+t,\cdots,x^m)-f(x^1,x^2,\cdots,x^k,\cdots,x^m)}{t} \]

存在，则称该极限为 \((x^1,x^2,\cdots,x^m)\) 处关于 \(x^k\) 的偏导数，记作 \(f_{x^k}(\bold{x})\)。也记作 \(\dfrac{\partial f}{\partial x^k}(\bold{x})\)。对 \(x^k\) 求偏导相当于是将 \(x^k\) 看作变量，其余坐标看作参数后对一元函数求导。

偏导数与微分的关系

对于 \(m\) 维线性空间 \(V\) 中的一组基 \(\bold{e_1},\bold{e_2},\cdots,\bold{e_m}\)，并且相应的坐标系满足 \(\bold{x}=x^1\bold{e_1}+x^2\bold{e_2}+\cdots+x^m\bold{e_m}\)。如果映射 \(f:V\to\mathbb{R}\) 可微，那么 \(\forall\bold{v}=\xi^1\bold{e_1}+\xi^2\bold{e_2}+\cdots+\xi^m\bold{e_m}\)，有

\[\mathrm d f(\bold{x})(\bold{v})=\mathrm df(\bold x)(\xi^1\bold e_1+\xi^2\bold e_2+\dots+\xi^m\bold e_m)=\sum\limits_{i=1}^m\xi^if_{x^i}(\bold{x}) \]

上述式子对于任意一组基 \(\{\bold{e_m}\}\) 都成立，即使 \(\{\bold{e_m}\}\) 不是单位正交的。

偏导数与梯度的关系

对于向量 \(\bold{x}\in\mathbb{R}^m\) 以及 \(\bold{v}=\xi^1\bold{e_1}+\xi^2\bold{e_2}+\cdots+\xi^m\bold{e_m}\)。因为

\[\lang\text{grad}f(\bold{x}),\bold{v}\rang=\mathrm df(\bold{x})(\bold{v})=\sum\limits_{i=1}^m\xi^if_{x^i}(\bold{x}) \]

所以对于笛卡尔坐标系而言（\(\bold{e_i}\) 只有第 \(i\) 维为 \(1\)，其余维均为 \(0\)），梯度 \(\text{grad}f(x)\) 可以表示为列向量

\[\begin{pmatrix}f_{x^1}(\bold{x})\\\vdots\\f_{x^m}(\bold{x})\end{pmatrix} \]

对于任意一组基 \(\{\bold{e_m}\}\)，设 \(\text{grad}f(x)=c^1\bold{e_1}+c^2\bold{e_2}+\cdots+c^m\bold{e_m}\)，那么 \(\lang\text{grad}f(x),\bold{v}\rang=\sum\limits_{i=1}^mc^i\bold{e_i}\bold{v}=\sum\limits_{i=1}^m\sum\limits_{j=1}^mc^i\xi^j\bold{e_i}\bold{e_j}\)，又因为 \(\lang\text{grad}f(\bold{x}),\bold{v}\rang=\sum\limits_{i=1}^m\xi^if_{x^i}(\bold{x})\)，所以 \(f_{x^j}(\bold{x})=\sum\limits_{i=1}^mc^i\bold{e_ie_j}\)，设矩阵 \(G\) 满足 \(G_{i,j}=\bold{e_j}\bold{e_j}\)，那么 \((G\bold{c})_j=f_{x^j}(\bold{x})\)，这样梯度 \(\text{grad}f(x)\) 可以表示为向量 \(G^{-1}\begin{pmatrix}f_{x^1}(\bold{x})\\\vdots\\f_{x^m}(\bold{x})\end{pmatrix}\)。

一阶微分的形式不变性

在任何坐标系 \((x^1,x^2,\cdots,x^m)\) 下，对任何可微函数都有

\[\mathrm df=\sum\limits_{k=1}^mf_{x^k}\mathrm dx^k \]

称 \(\mathrm df\) 为全微分，\(\sum\limits_{k=1}^mf_{x^k}\mathrm dx^k\) 为偏微分。

该性质表明，一阶微分是与坐标系选取无关的几何概念。

Jacobi 矩阵

对于线性空间 \(V,W\)，\(A\subset V\)，映射 \(f:A\to W\) 可微。设 \(V\) 中存在坐标系 \((x^1,x^2,\cdots,x^m)\)，\(W\) 中存在坐标系 \((y^1,y^2,\cdots,y^n)\)，那么 \(\bold{y}=f(\bold{x})\) 可以表示成如下的一组函数：

\[\begin{cases} y^1=f^1(x^1,x^2,\cdots,x^m)\\ y^2=f^2(x^1,x^2,\cdots,x^m)\\ \vdots\\ y^n=f^n(x^1,x^2,\cdots,x^m) \end{cases} \]

这样 \(f\) 的微分可以表示为矩阵

\[Jf(x)=\begin{pmatrix} \dfrac{\partial y_1}{\partial x_1}&\dfrac{\partial y_1}{\partial x_2}&\cdots&\dfrac{\partial y_1}{\partial x_m}\\ \dfrac{\partial y_2}{\partial x_1}&\dfrac{\partial y_2}{\partial x_2}&\cdots&\dfrac{\partial y_2}{\partial x_m}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \dfrac{\partial y_n}{\partial x_1}&\dfrac{\partial y_n}{\partial x_2}&\cdots&\dfrac{\partial y_n}{\partial x_m}\\ \end{pmatrix} \]

复合映射的 Jacobi 矩阵是每步映射的 Jacobi 矩阵的乘积，即 \(J(g\circ f)(\bold x)=Jg(f(\bold(x)))J(\bold{x})\)。

偏导数与可微性

偏导数是一个很弱的概念。即便所有该点方向导数都存在，也不能推出该点可微。那么添加什么条件能够得出该点可微呢？

以二元函数为例，对于函数 \(f\) 定义域中的某点 \((a,b)\) 及趋近于 \(0\) 的 \((x,y)\) 有

\[\begin{aligned} &f(a+x,b+y)-f(a,b)\\ =&f(a+x,b+y)-f(a+x,b)+f(a+x,b)-f(a,b)\\ =&f_2(a+x,b+\eta)y+f_1(a,b)+o(x) \end{aligned} \]

如果我们希望 \(f_2(a+x,b+\eta)=f_2(a,b)y+o(y)\)，那么需要满足 \(f_2(a,b)\) 在 \((a,b)\) 中某个邻域中存在并且连续。将这个结论推广到多维的情况可知，如果偏导数在某一维中存在，其余维中都在该点的邻域中连续，就能推出函数在该点中可微。为了对称，一般来说使用的是所有维都在邻域中连续。

定义函数在一个点处连续当且仅当在其它变量固定，一个变量可变时，函数连续。类似地可以得出，若函数在某点处关于一个变量偏连续，关于其他变量在邻域中存在有界偏导，则函数在该点处可微。

高阶偏导数

高阶偏导数的定义：偏导数的偏导数。

记

\[f_{k_1,k_2,\cdots,k_r}=\dfrac{\partial^rf}{\partial x^{k_r}\partial x^{k_{r-1}}\cdots\partial x^{k_1}}=\dfrac{\partial}{\partial x^{k_r}}\dfrac{\partial}{\partial x^{k_{r-1}}}\cdots\dfrac{\partial}{\partial x^{k_1}}f \]

即按照从右往左的顺序执行偏导。

Clairaut 定理：对于一组 \(k_1,\cdots,k_r\)，若对任意排列 \(σ\)，\(f_{k_{\sigma_1},k_{\sigma_2},\cdots,k_{\sigma_r}}\) 都连续，则它们的值都相等。（此时，求导与顺序无关）。

对于函数 \(f\) 而言，

• 如果 \(f\) 在定义域中每个点处都存在一阶偏导数，并且所有一阶偏导数都连续，则称 \(f\in\scr{C}^1\)。
• 对于 \(k\ge 1\)，如果 \(f\) 在定义域中每个点处都存在一阶偏导数，并且所有一阶偏导数都是 \(\scr{C}^{k-1}\) 型的，则称 \(f\in\scr C^k\)。

对于多元函数而言，\(\scr C^1\) 是最强的条件，其次是可微，再其次是连续和偏导数存在（连续和偏导数存在这两者没有必然联系）

多元函数的泰勒展开与极值

泰勒展开

对于函数 \(f\in\scr{C}^r\) 和其定义域中某点 \(\bold{x_0}\)，和某个方向向量 \(\bold{v}\)，如果记 \(g(t)=f(\bold{x_0}+t\bold{v})\)，那么根据一元函数的泰勒展开可知

\[g(t)=\sum\limits_{i=0}^rg^{(i)}(0)\dfrac{t^i}{i!}+o(t^r),t\to 0 \]

而因为

\[g'(t)=\mathrm df(\bold{x_0}+t\bold{v})\bold{v}=\sum\limits_{k=1}^mf_{k}(\bold{x_0}+t\bold{v})\bold{v}^k \]

\[g''(t)=\sum\limits_{k=1}^m\mathrm df_k(\bold{x_0}+t\bold{v})\bold{v}\bold{v}^k=\sum\limits_{i=1}^m\sum\limits_{j=1}^mf_{ij}(\bold{x_0}+t\bold{v})\bold{v}^j\bold{v^k} \]

归纳可得

\[g^{(k)}(t)=\sum\limits_{j_1,j_2,\cdots,j_k\in\{1,2,\cdots,m\}}f_{j_1,j_2,\cdots,j_m}(\bold{x_0})\bold{v}^{j_1}\bold{v}^{j_2}\cdots\bold{v}^{j_m} \]

于是

\[f(\bold{x_0}+t\bold{v})=\sum\limits_{k=0}^r\sum\limits_{j_1,j_2,\cdots,j_k\in\{1,2,\cdots,m\}}f_{j_1,j_2,\cdots,j_m}(\bold{x_0})\bold{v}^{j_1}\bold{v}^{j_2}\cdots\bold{v}^{j_m}\dfrac{t^k}{k!}+o(t^r),t\to 0 \]

上式也可以写作

\[f(\bold{x_0}+\bold{v})=\sum\limits_{k=0}^r\sum\limits_{j_1,j_2,\cdots,j_k\in\{1,2,\cdots,m\}}f_{j_1,j_2,\cdots,j_m}(\bold{x_0})\bold{v}^{j_1}\bold{v}^{j_2}\cdots\bold{v}^{j_m}\dfrac{1}{k!}+o(\lVert\bold{v}\lVert^r),\lVert\bold{v}\rVert\to 0 \]

---

因为高阶连续可微函数的高阶偏导数与求导顺序无关，所以

\[f(\bold{x_0}+\bold{v})=\sum\limits_{k=0}^r\sum\limits_{\sum\alpha_i=k}\dfrac{f^{(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m)}(\bold{x_0})(\bold{v}^1)^{\alpha_1}(\bold{v}^2)^{\alpha_2}\cdots(\bold{v}^m)^{\alpha_m}}{\alpha_1!\alpha_2!\cdots\alpha_m!}+o(\lVert\bold{v}\lVert^r),\lVert\bold{v}\rVert\to 0 \]

其中 \(f^{(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m)}(\bold{x_0})=\dfrac{\partial^kf(\bold{x_0})}{\partial(x_1)^{\alpha_1}\partial(x_2)^{\alpha_2}\cdots\partial(x_m)^{\alpha_m}}\)。

上式便是 \(f\) 在 \(\bold{x_0}\) 处的 \(r\) 阶 Peano 余项的泰勒展开式。

类似地也可以得到 \(f\) 在 \(\bold{x_0}\) 处的 \(r\) 阶 Lagrange 余项的泰勒展开式。

\[f(\bold{x_0}+\bold{v})=\sum\limits_{k=0}^{r}\sum\limits_{\sum\alpha_i=k}\dfrac{f^{(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m)}(\bold{x_0})(\bold{v}^1)^{\alpha_1}(\bold{v}^2)^{\alpha_2}\cdots(\bold{v}^m)^{\alpha_m}}{\alpha_1!\alpha_2!\cdots\alpha_m!}+\sum\limits_{\sum\alpha_i=r+1}\dfrac{f^{(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m)}(\bold{x_0}+\xi\bold{v})(\bold{v}^1)^{\alpha_1}(\bold{v}^2)^{\alpha_2}\cdots(\bold{v}^m)^{\alpha_m}}{\alpha_1!\alpha_2!\cdots\alpha_m!} \]

其中 \(0<\xi<1\)。

多元函数的极值

考虑可微多元函数 \(f\) 定义域中某一点 \(\bold{x_0}\)，如果 \(\mathrm df(\bold{x_0})\ne 0\)，那么存在 \(\bold{v}\) 使得 \(\mathrm df(\bold{x_0})\bold{v}>0\)，这样对于足够小的正数 \(t\)，有 \(f(\bold{x_0}-t\bold{v})<f(\bold{x_0})<f(\bold{x_0}+t\bold{v})\)。

也就是说，如果 \(\bold{x_0}\) 是 \(f\) 的极值点，那么 \(\mathrm df(\bold{x_0})=0\)。

但是这个条件不是充分必要的，反例：鞍点。要想知道一个微分为 \(0\) 的点是否真正为极值点，需要对二阶微分加以分析。

考虑 \(m\times m\) 的矩阵 \(H_f(\bold{x_0})\)，其第 \(i\) 行第 \(j\) 列的值为 \(f_{i,j}(\bold{x_0})\)，有结论：

• 如果 \(H_f(\bold{x_0})\) 正定，那么 \(\bold{x_0}\) 为 \(f\) 的极小值点。
• 如果 \(H_f(\bold{x_0})\) 负定，那么 \(\bold{x_0}\) 为 \(f\) 的极大值点。

其中，一个 \(n\times n\) 的矩阵 \(A\) 被称为正定的，当且仅当 \(\forall\bold{x}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)\ne\bold{0}\)，都有 \(\bold{x} A\bold{x}^T>0\)；一个 \(n\times n\) 的矩阵 \(A\) 被称为负定的，当且仅当 \(\forall\bold{x}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)\ne\bold{0}\)，都有 \(\bold{x} A\bold{x}^T<0\)。

特别地对于二阶矩阵 \(H=\begin{bmatrix}\alpha&\beta\\\beta&\gamma\end{bmatrix}\)，有：

• \(H\) 正定：\(\alpha>0,\alpha\gamma>\beta^2\)
• \(H\) 负定：\(\alpha<0,\alpha\gamma>\beta^2\)
• \(H\) 退化：\(\alpha\gamma=\beta^2\)
• \(H\) 非退化、非正定、非负定：\(\alpha\gamma<\beta^2\)。

隐函数定理与逆映射定理

隐函数定理

对于 \(\scr C^r\) 的映射 \(f:\mathbb{R}^m\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n\)，且已知 \(f(\bold{x_0},\bold{y_0})=0\) 且 \(Jf(\bold{x_0},\bold{y_0})\) 可逆，则存在 \(\bold{x_0}\) 的某个邻域 \(U\) 和 \(\bold{y_0}\) 的某个邻域 \(V\)，以及 \(\scr C^r\) 映射 \(g:U\to V\) 满足 \(\forall\bold{x}\in U,\bold{y}\in V\)，\(f(\bold{x},\bold{y})=0\Leftrightarrow \bold{x}=g(\bold{y})\)。并且

\[\mathrm Dg(\bold{x})=-(\mathrm DF_y(\bold{x},g(\bold{x})))^{-1}\mathrm DF_x(\bold{x},g(\bold{x})) \]

换句话说，在 \(\bold{x_0}\) 的邻域内，方程的解存在且唯一，且解函数的连续性与原函数连续性相当。

逆映射定理

对于映射 \(H\in\scr C^r\)，若 \(\bold{y_0}=H(\bold{x_0})\)，且 \(H_{\bold{x}}(\bold{x_0})\) 可逆，那么根据隐函数定理，存在 \((\bold{x_0},\bold{y_0})\) 的一个邻域 \(W\) 和 \(\scr C^r\) 的映射 \(g\) 满足 \(\forall(g(\bold{y}),\bold{y})\in W\)，\(H(g(\bold{y}))=\bold{y}\)。换句话说，\(g\) 是 \(H\) 在 \((\bold{x_0},\bold{y_0})\) 附近的局部逆映射，

整体微分同胚定理

对于开集 \(U\subset\mathbb{R}^n\) 和 \(\scr C^r\) 的映射 \(F:U\to\mathbb{R}^n\)，那么以下两个陈述等价：

• \(V=F(U)\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 中的开集，并且存在 \(\scr C^r\) 的逆映射 \(F^{-1}:V\to U\)（记作 \(F\) 是 \(\scr C^r\) 微分同胚）
• \(F\) 是单射，且 \(\forall\bold{x}\in U\)，\(\mathrm DF(\bold{x})\) 可逆。

曲线与曲面

曲线的定义

对于空间 \(\mathbb{R}^m\)，定义 \(\mathbb{R}^m\) 中的一个 \(\scr C^r\) 曲线是一个 \(\scr C^r\) 映射 \(\bold{x}:(\alpha,\beta)\to\mathbb{R}^m\)，其中 \(\bold{x}'(t)\) 为该曲线在 \(\bold{x}(t)\) 处的速度向量。定义一个曲线是正则的，当且仅当 \(\bold{x}'(t)\ne 0\)。

曲面的定义

对于 \(\Sigma\subset\mathbb{R}^n\)，称 \(\Sigma\) 是一个 \(m\) 维 \(\scr C^r\) 曲面，当且仅当 \(\forall P_0\in\Sigma\)，都存在 \(P_0\) 的一个开邻域 \(U\)，\(V\subset\mathbb{R}^m\) 和 \(\scr C^r\) 映射 \(g:V\to\mathbb{R}^{n-m}\) 和一个排列 \(\sigma\) 满足 \(\forall (x^1,x^2,\cdots,x^n)\in\Sigma\cap U\) 使得 \((x^{\sigma(m+1)},x^{\sigma(m+2)},\cdots,x^{\sigma(n)})=g(x^{\sigma(1)},x^{\sigma(2)},\cdots,x^{\sigma(m)})\)。

特别地，当 \(m=1\) 时，\(\Sigma\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 中的一个曲线。

定义一个曲面是正则的，当且仅当它的 Jacobi 矩阵列满秩。

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对于映射 \(F:U\to \mathbb{R},U\subset\mathbb{R}^n,F\in\scr C^r\)，如果 \(a\in\mathbb{R}\) 是 \(F\) 的一个正则值（即 \(F^{-1}\) 非空且不含 \(F\) 的临界点），则水平集 \(F^{-1}(a)\) 是一个 \(n-1\) 维的 \(\scr C^r\) 曲面。

证明：根据正则值的定义，\(\forall P_0=(x_0^1,x_0^2,\cdots,x_0^n)\in F^{-1}(a)\)，\(F\) 至少有一个偏导数 \(F_k(P_0)\ne 0\)。于是由隐函数定理，在 \(P_0\) 附近存在 \(\scr C^r\) 函数 \(g:V\to\mathbb{R}\) 使得 \(F(\bold{x})=a\)，当且仅当 \(x^k=g(\hat{\bold{x}})\)，其中 \(\hat{\bold{x}}\) 为 \(\bold{x}\) 去掉第 \(k\) 维后的结果。

类似地可以推广得到：对于映射 \(F:U\to\mathbb{R}^{n-m},U\subset\mathbb{R}^n,F\in\scr C^r\)，如果 \(a\in\mathbb{R}^{n-m}\) 是 \(F\) 的一个正则值，即 \(F^{-1}(a)\) 非空，且 \(\forall\bold{x}\in F^{-1}(a)\)，\(\mathrm DF^{-1}(\bold{x})\) 满秩。则 \(F^{-1}(a)\) 是一个 \(m\) 维的 \(\scr C^r\) 曲面。

曲面的切向量、切空间、切平面

对于 \(\mathbb{R}^n\) 中的 \(\scr C^r\) 曲面和 \(\mathbb{R}^n\) 中一条 \(\scr C^1\) 路径 \(\bold{x}(t)\)，满足 \(\forall t,\bold{x}(t)\in\Sigma\)，如果 \(\bold{x}(0)=P_0\)，则 \(\bold{x}'(0)\) 为 \(P_0\) 处一个切向量。所有切向量组成的集合称为 \(P_0\) 处的切空间，记作 \(T_{P_0}(\Sigma)\)。\(P_0+T_{P_0}(\Sigma)\) 称为 \(P_0\) 处的切平面。切平面是切空间沿着 \(P_0\) 这个向量平移以后的结果。

对于曲线

\[\begin{cases} x^1=x^1(t^1,t^2,\cdots,t^m)\\ x^2=x^2(t^1,t^2,\cdots,t^m)\\ \vdots\\ x^m=x^m(t^1,t^2,\cdots,t^m) \end{cases} \]

\(\bold{v_1}=\dfrac{\partial\bold{x}}{\partial t_1},\bold{v_2}=\dfrac{\partial\bold{x}}{\partial t_2},\cdots,\bold{v_m}=\dfrac{\partial\bold{x}}{\partial t_m}\) 是 \(m\) 个线性无关的向量，一个点处的切平面则是由这个点处的 \(\bold{v_1},\bold{v_2},\cdots,\bold{v_m}\) 所张成的空间，即其 Jacobi 矩阵 \(J\bold{x}(\bold{t})\) 的列空间。

切平面上的点在 \(\mathbb{R}^n\) 坐标系下，\(\bold{x}=\bold{x}(\bold{t_0})+\sum\limits_{k=1}^m\dfrac{\partial\bold{x}}{\partial t^k}(\bold{t_0})\xi^k\)，其中 \(\xi^k\in\mathbb{R}\)。

\(\mathbb{R}^3\) 中的 \(\mathbb{R}^2\) 曲面

隐函数确定的平面

隐函数确定的平面指用方程 \(F(x,y,z)=0\) 确定的二维曲面，其中 \(F_x,F_y,F_z\) 中至少有一个非零。

对于曲面上任意一条光滑曲线 \(\bold{x}(t)=(x(t),y(t),z(t))\)，因为 \(F(x(t),y(t),z(t))=0\)，两边同时对 \(t\) 求导可得 \(\nabla F·\bold{x}'(t)=0\)。换句话说，曲面在 \(\bold{x_0}\) 处的切向量总与 \(F\) 在 \(\bold{x_0}\) 处的梯度向量（即法向量）正交。而对于任意一个与在 \(\bold{x_0}\) 处与 \(F\) 在 \(\bold{x_0}\) 处的梯度向量正交的向量 \(\bold{v}\)，都存在光滑曲线 \(\bold{x}(t)\) 使得 \(F(\bold{x(t)})=0\)，并且 \(\bold{x}(0)=\bold{x_0},\bold{x}'(0)=\bold{v}\)。也就是说对于曲面上一点 \(\bold{x_0}\)，曲面的切平面可以表示为

\[\nabla F(\bold{x_0})(\bold{x}-\bold{x_0})=0 \]

因为 \(\nabla F(\bold{x_0})\) 是好求的，所以通过这种方式可以求得曲面上一点的切平面。

类似地，对于用隐函数 \(\begin{cases}F_1(x,y,z)=0\\F_2(x,y,z)=0\end{cases}\) 定义的曲线，其在 \((x_0,y_0,z_0)\) 处的切方向就是 \(\nabla f_1(x_0,y_0,z_0)\) 与 \(\nabla f_2(x_0,y_0,z_0)\) 的叉积所对应的方向。

参数方程确定的曲面

参数方程确定的曲面指用参数方程 \(\bold{x}(u,v):=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\) 确定的二维曲面，其中 \((u,v)\in D\subseteq\mathbb{R}^2\)，并且 \(\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)},\dfrac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)},\dfrac{\partial(x,z)}{\partial(u,v)}\) 中至少有一个可逆。

对于曲面上任意一条光滑曲线 \(\bold{y}(t)=\bold{x}(u(t),v(t))\)，两边同时对 \(t\) 求导可得 \(\bold{y}'(t)=\dfrac{\partial\bold{x}}{\partial u}|_{\bold{x=y(t)}}u'(t)+\dfrac{\partial\bold{x}}{\partial v}|_{\bold{x=y(0)}}v'(t)\)，因为 \(u'(t)\) 和 \(v'(t)\) 可以取到任意值，所以曲面在 \(\bold{x_0}\) 处的切空间是由该点处 \(\bold{x}\) 对 \(u,v\) 求偏导数所得的向量的张成空间，即向量 \(\dfrac{\partial\bold{x}}{\partial u}\) 和 \(\dfrac{\partial\bold{x}}{\partial v}\) 所张成的空间。类似地也可以得到，曲线在该点处的法向量就是向量 \(\dfrac{\partial\bold{x}}{\partial u}\) 和 \(\dfrac{\partial\bold{x}}{\partial v}\) 的叉积。

条件极值问题

约束条件极值问题形如，给定 \(k\) 个方程组 \(\begin{cases}g_1(\bold{x})=0\\g_2(\bold{x})=0\\\cdots\\g_k(\bold{x})=0\end{cases}\)，要求满足这 \(k\) 个方程组的 \(f(\bold{x})\) 的最值。

这种问题可以使用 Lagrange 乘子法求解，即考虑函数 \(L(\bold{x},\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_k)=f(\bold{x})-\lambda_1g_1(\bold{x})-\lambda_2g_2(\bold{x})-\cdots-\lambda_kg_k(\bold{x})\)，如果 \((\bold{x}^*,\lambda_1^*,\lambda_2^*,\cdots,\lambda_k^*)\) 为这个函数的极值点，那么需要满足：

\[\begin{cases} \nabla f(\bold{x}^*)-\lambda_1^*\nabla g_1(\bold{x}^*)-\lambda_2^*\nabla g_2(\bold{x}^*)-\cdots-\lambda_k^*\nabla g_k(\bold{x}^*)=0\\ g_i(\bold{x}^*)=0 \end{cases} \]

第一条限制保证了 \(f\) 的梯度向量与 \(g\) 在 \(\bold{x}^*\) 处的切平面正交，第二条限制保证了 \(\bold{x}^*\) 符合 \(g\) 的 \(k\) 条限制，因此存在 \(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_k\) 使得 \((\bold{x}^*,\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_k)\) 是 \(L\) 的极值点是 \(\bold{x}^*\) 是 \(f\) 的条件极值的必要条件，那如何检验 \(\bold{x}\) 是否真的是 \(f\) 的极值点呢，有三种方法：

• 如果符合 \(g\) 的限制的 \(\bold{x}\) 组成有界闭集，并且 \(f\) 为连续函数，那么最值一定是极值，直接算出所有候选点集的 \(f\) 的最小值就是全局最小值，最大值也同理。
• 如果符合 \(g\) 的限制的 \(\bold{x}\) 不是有界闭集，\(f\) 为连续函数，并且 \(\bold{x}\) 趋近于 \(g\) 的边界时值为 \(\infty\)，那么最小值点一定是极值点；\(\bold{x}\) 趋近于 \(g\) 的边界时值为 \(-\infty\) 的情况也同理。
• 其他情况：找出切空间以后计算二阶导数从而判断 Hesse 矩阵是正定还是负定还是非正定非负定，即考虑所有符合要求的切向量 \((\xi^1,\xi^2,\cdots,\xi^k)\)，判断 \((\xi^1,\xi^2,\cdots,\xi^k)H_f(\bold{x})(\xi^1,\xi^2,\cdots,\xi^k)^T\) 的符号：
  • 恒大于 \(0\)：极小值。
  • 恒小于 \(0\)：极大值。
  • 不固定：啥都不是。

广义含参积分

对于二元函数 \(f(t,\bold{x})\)，设 \(g(\bold{x})=\int_a^{\omega}f(t,\bold{x})\)，其中积分在 \(\omega\) 处为瑕点。在广义含参积分中，除了探讨积分 \(g(\bold{x})\) 是否收敛之外，我们往往还会探讨 \(g\) 的整体性质，比如 \(g\) 的连续性、可微性、可积性等。

一致收敛

称 \(g(\bold{x})=\int_a^{\omega}f(t,\bold{x})\) 关于 \(\bold{x}\) 在 \(A\) 上一致收敛，当且仅当 \(\forall\epsilon>0\)，存在 \(\omega\) 的去心邻域 \(U_{\epsilon}\) 使得 \(\forall x\in A\)，对任何 \(b\in U_{\epsilon}\)，都有

\[|\int_{a}^bf(t,\bold{x})\mathrm dt-g(\bold{x})|<\epsilon \]

换句话说，就是对于所有参数 \(\bold{x}\)，广义积分 \(f(t,\bold{x})\) 收敛的速度相同。

广义积分的连续性

若 \(A\) 是开集或闭集，\(f(t,\bold{x})\) 在 \([a,\omega)\times A\) 上连续，并且 \(g(\bold{x})\) 在 \(A\) 上一致收敛，那么 \(g(\bold{x})\) 连续。

证明：

因为

\[\begin{aligned} |g(\bold{x})-g(\bold{x_0})|&=|\int_a^{\omega}f(t,\bold{x})\mathrm dt-\int_a^{\omega}f(t,\bold{x_0})|\\ &=|\int_b^{\omega}f(t,\bold{x})\mathrm dt+\int_a^b(f(t,\bold{x})-f(t,\bold{x_0}))\mathrm dt-\int_b^{\omega}f(t,\bold{x})\mathrm dt|\\ &\le|\int_b^{\omega}f(t,\bold{x})\mathrm dt|+\int_a^b|f(t,\bold{x})-f(t,\bold{x_0})|\mathrm dt+|\int_b^{\omega}f(t,\bold{x})\mathrm dt| \end{aligned} \]

因为 \(g\) 在 \(A\) 上一致收敛，所以存在 \(b(\epsilon\)) 使得 \(\forall\bold{x}\in A\)，\(|\int_b^{\omega}f(t,\bold{x})\mathrm dt|<\dfrac{\epsilon}{3}\)。因为 \(f\) 在有界闭集上连续，从而一致连续，故存在 \(\delta(\epsilon)\) 使得 \(\forall\lVert\bold{x}-\bold{x_0}\rVert<\delta(\epsilon)\)，\(a\le t\le b\)，都有 \(|f(t,\bold{x})-f(t,\bold{x_0})|<\dfrac{\epsilon}{3(b-a)}\)，这样 \(|g(\bold{x})-g(\bold{x_0})|<\epsilon\)。

广义积分的可积性

若 \(f(t,s)\) 关于 \(t,s\) 在 \([a,\omega)\times[\alpha,\beta]\) 连续，并且 \(g(s)\) 关于 \(t\) 在 \([\alpha,\beta]\) 上一致收敛，那么

\[\int_{\alpha}^{\beta}\int_a^{\omega}f(t,s)\mathrm dt\mathrm ds=\int_a^{\omega}\int_{\alpha}^{\beta}f(t,s)\mathrm ds\mathrm dt \]

证明：\(\forall\epsilon>0\)，因为 \(g(s)\) 关于 \(t\) 在 \([\alpha,\beta]\) 上一致收敛，考虑找出 \(b\) 使得 \(\forall s\in[\alpha,\beta]\)，都有 \(|\int_b^{\omega}f(t,s)\mathrm dt|<\dfrac{\epsilon}{\beta-\alpha}\)，这样

\[\begin{aligned} &|\int_a^b\int_{\alpha}^{\beta}f(t,s)\mathrm ds\mathrm dt-\int_{\alpha}^{\beta}\int_a^{\omega}f(t,s)\mathrm dt\mathrm ds|\\ =&\int_{\alpha}^{\beta}|\int_b^{\omega}f(t,s)\mathrm dt|\mathrm ds\\ <&\epsilon \end{aligned} \]

因此 \(\int_{\alpha}^{\beta}\int_a^{\omega}f(t,s)\mathrm dt\mathrm ds=\int_a^{\omega}\int_{\alpha}^{\beta}f(t,s)\mathrm ds\mathrm dt\)。

该定理可以进一步推广：若 \(f(t,s)\) 关于 \(t,s\) 在 \([a,\omega_1)\times[\alpha,\omega_2)\) 连续，并且 \(\int_a^{\omega_1}f(t,s)\mathrm dt\) 关于 \(s\) 在 \([\alpha,\omega_2)\) 上一致收敛，\(\int_a^{\omega_2}f(t,s)\mathrm ds\) 关于 \(t\) 在 \([a,\omega_1)\) 上一致收敛，并且 \(\int_a^{\omega_1}\int_{\alpha}^{\omega_2}|f(t,s)|\mathrm dt\mathrm ds\) 和 \(\int_{\alpha}^{\omega_2}\int_a^{\omega_1}|f(t,s)|\mathrm ds\mathrm dt\) 至少有一者收敛，则 \(\int_a^{\omega_1}\int_{\alpha}^{\omega_2}f(t,s)\mathrm dt\mathrm ds\) 和 \(\int_{\alpha}^{\omega_2}\int_a^{\omega_1}f(t,s)\mathrm ds\mathrm dt\) 均收敛并且值相等。

广义积分的可微性

对广义积分 \(g(\bold{x})=\int_a^{\omega}f(t,\bold{x})\mathrm dt\) 而言，\(g\) 的偏导数 \(\dfrac{\partial}{\partial x_k}g(\bold{x})\) 存在，当且仅当：

• 存在 \(\forall\bold{x}\in A\)，\(g(\bold{x})\) 收敛。
• \(\dfrac{\partial}{\partial x_k}f(t,\bold{x})\) 关于 \((t,\bold{x})\) 二元连续，并且 \(\int_a^{\omega}\dfrac{\partial}{\partial x_k}f(t,\bold{x})\) 关于 \(\bold{x_0}\) 一致收敛。

此时 \(\dfrac{\partial}{\partial x_k}g(\bold{x})=\int_a^{\omega}\dfrac{\partial}{\partial x_k}f(t,\bold{x})\)，即偏导运算与积分运算可以交换。

判定广义积分一致收敛的办法

如果使用一致收敛的定义去判断广义积分是否一致收敛，通常需要先求出 \(g(\bold{x})\) 的值以后才能判断，因此有以下三种更普遍的方法：

1. 一致 Cauchy

如果 \(\forall\epsilon>0,\bold{x}\in A\)，存在 \(\omega\) 的去心邻域 \(U_{\epsilon}\) 使得 \(\forall b_1,b_2\in U_{\epsilon}\)，都有

\[|\int_{b_1}^{b_2}f(t,\bold{x})\mathrm dt|<\epsilon \]

那么 \(f(t,\bold{x})\) 关于 \(\bold{x}\) 在 \(A\) 上一致收敛。

2. Weierstress 强函数

如果存在 \(g(t)\) 满足 \(\int_a^{\omega}|g(t)|\mathrm dt\) 收敛且存在 \(\omega\) 的去心邻域 \(U\) 使得 \(\forall\bold{x}\in A,t\in U\)，都有 \(|f(t,\bold{x})|\le|g(t)|\)，则 \(\int_a^{\omega}|f(t,\bold{x})|\mathrm dt\) 关于 \(\bold{x}\) 在 \(A\) 上一致收敛。

Weierstress 同样使用于一致绝对收敛。

3. 乘积函数判别法（Dirichlet-Abel）

对于广义积分 \(\int_a^{\omega}f(t,\bold{x})g(t,\bold{x})\mathrm dt\) 型的积分，当满足以下两个条件之一时，积分关于 \(\bold{x}\) 一致收敛：

• Dirichlet 判别法：\(\int_a^{b}f(t,\bold{x})\mathrm dt\) 对所有 \(b\in[a,\omega)\) 关于 \(\bold{x}\) 一致有界，并且 \(\lim\limits_{t\to \omega}g(t,\bold{x})=0\) 对 \(\bold{x}\) 一致成立。
• Abel 判别法：\(\int_a^{\omega}f(t,\bold{x})\mathrm dt\) 对 \(\bold{x}\) 一致收敛，并且 \(g(t,\bold{x})\) 有界。

那么广义积分 \(\int_a^{\omega}f(t,\bold{x})g(t,\bold{x})\mathrm dt\) 关于 \(\bold{x}\) 一致收敛。