Atcoder Grand Contest 041 F - Histogram Rooks

考虑容斥。我们钦定一些格子组成的集合不能被覆盖，设为 $A$ 。把与 $A$ 中的点同行同列的点抠掉，剩余的点则是可放可不放的，总方案数就是 $2^{\text{剩余点的个数}}$ ，乘以 $(-1)^{|A|}$ 并求和即可。

这个做法直接优化显然不行。我们考虑设 $A$ 中的点所在的列组成的不可重集为 $S$ ，我们枚举 $S$ 是什么，那么考虑每一个行连续段计算方案数，分两种情况讨论：

这一行里没有任何属于 $A$ 的格子，那么设 $c$ 为这一行中不属于 $S$ 的列的个数，那么这种方案的容斥系数乘以方案数就是 $2^c$ 。
这一行有至少一个格子属于 $A$ ，那么枚举这一行中属于 $A$ 的格子的数量 $d$ ，容斥系数 $(-1)^d$ ，方案数 $\dbinom{c}{d}$ ，把它们求和可以得到 $\sum\limits_{d=1}^c\dbinom{c}{d}(-1)^d$ ，其值为 $-[c>0]$ 。

两者加起来就是这一行的方案数。

但是这个做法有一个问题，就是我们不能保证 $S$ 中每一列都有至少一个格子属于 $A$ 。

考虑再进行一层容斥。枚举集合 $T$ 满足 $T\subseteq S$ 且 $T$ 中的列都没有属于 $A$ 的格子，那容斥系数自然是 $(-1)^{|T|}$ ，这样每一行的方案数也要进行相应的改变：

这一行里没有任何属于 $A$ 的格子，那么设 $c$ 为这一行中不属于 $S$ 的列的个数，那么这种方案的容斥系数乘以方案数就是 $2^c$ 。
这一行有至少一个格子属于 $A$ ，设 $c'$ 为这一行中属于 $S$ 但不属于 $T$ 的列的个数，那么类比之前的过程可知方案数为 $-[c'>0]$ 。

而我们发现，这个棋盘实际上可以被看作笛卡尔树的形状。即，对于每一个行连续段，它对应的列实际上是笛卡尔树上一个区间。因此考虑对 $h$ 建笛卡尔树，然后设 $dp_{i,j,0/1}$ 表示 $i$ 子树内有 $j$ 个属于 $S$ 的列，是/否有属于 $S$ 但不属于列的所有 $(S,T)$ 的方案数乘以容斥系数之和。转移是背包合并，总复杂度就是 $O(n^2)$ 。