Atcoder Grand Contest 056 B - Range Argmax

因为一组 x 可能对应多组 p，考虑怎么让决策唯一化。

我们从大到小依次钦定每个值的位置，即倒着遍历 i=n,n−1,⋯,1，找到最左端的位置 v 满足，对于现在还活着的所有区间 j 满足 lj≤v≤rj，都有 xj=v，令 pj=i，然后删去所有包含 i 的区间。显然对于一组合法的 {xm}，我们总能唯一还原出对应的排列 p。

这样以来，原本对 x 计数可以转化为对排列 p 计数。即计算有多少个不同的 p，满足这组 p 对应的 {xm} 按照这种方式构造以后还原出来的排列刚好也是 p。

对于一个合法的排列 p，以区间 max 为键值建立笛卡尔树，显然笛卡尔树的形态是唯一的。而对于一棵合法的笛卡尔树，要对应得到合法的 p 显然只能从根开始按先序遍历依次赋值 n,n−1,n−2,⋯,1，也就是说合法的笛卡尔树与排列形成双射，因此考虑对笛卡尔树进行 DP。

假设当前考虑到笛卡尔树上的区间 [l,r]，我们枚举 [l,r] 中最大值的位置 k，递归处理 [l,k−1] 和 [k+1,r] 的部分。但是根据我们的先决条件，这里的 k 是所有合法的 k 中最靠左的，所以对于 [l,k−1] 的取值也自然要有一些限制。这里有一个结论：设 k′ 为 [l,k−1] 最大值的位置，那么 [l,r] 合法的充要条件是，[l,k−1],[k+1,r] 都是合法的，且不能存在一个 l≤li≤k′≤k≤ri≤r。

必要性：如果不存在 l≤li≤k′≤k≤ri≤r，那么把最大值钦定在 k′ 也是合法的。充分性：如果存在 l≤li≤k′≤k≤ri≤r，那么根据左区间的合法性可知把最大值钦定在 k′ 以左是不合法的，而如果把最大值钦定在 [k′,k) 中某个位置，那么有 xi≠k，也不合法，这样最左端合法位置就是 k 了。

这样以来考虑 dpl,r,k 表示有多少种不同的以 [l,r] 为根的合法的笛卡尔树数量，满足 [l,r] 最大值位置 ≥k。预处理 gl,r,k 表示当 [l,r] 最大值位置为 k 的时候，[l,k−1] 最大值位置最小是多少，这样转移可以做到 O(1)。

时间复杂度 O(n3)。

posted @   tzc_wk  阅读(93)  评论(0)  编辑  收藏  举报
相关博文：
· Atcoder Grand Contest 041 F - Histogram Rooks
· 洛谷 P4229 - 某位歌姬的故事（DP）
· AGC056B Range Argmax
· 【学习笔记】NOIP模拟赛
· [AGC056B] Range Argmax 题解
阅读排行：
· 阿里最新开源QwQ-32B，效果媲美deepseek-r1满血版，部署成本又又又降低了！
· 开源Multi-agent AI智能体框架aevatar.ai，欢迎大家贡献代码
· Manus重磅发布：全球首款通用AI代理技术深度解析与实战指南
· 被坑几百块钱后，我竟然真的恢复了删除的微信聊天记录！
· AI技术革命，工作效率10个最佳AI工具
历史上的今天：
2022-02-10 2022.2.8 模拟赛题解
2022-02-10 Codeforces 309E - Sheep（二分+贪心）
2022-02-10 洛谷 P5548 - [BJ United Round #3] 押韵（单位根反演+幂级数）
2021-02-10 数论学习笔记
2021-02-10 洛谷 P7323 - [WC2021] 括号路径（启发式合并）
点击右上角即可分享
微信分享提示
AI IDE Trae