Hash 题解

题意：

令 $P=998244353$ ，给出四个整数 $F(T),X,Y,Z$ ，其中 $X,Y,Z$ 在 $[2,P-2]$ 中随机生成。

定义一棵树的哈希值为 $\sum_{i<j}X^iY^jZ^{\text{lca}(i,j)}\bmod P$ 。

需要构造出点数 $\le 50$ 的树满足哈希值等于 $F(T)$ 。多测。 $20$ 组数据。

考虑令初态为每个节点的父亲都是 $1$ ，设初始哈希值为 $H_0$ ，考虑在此基础上进行调整。我们考虑构造一棵 $n=37$ 的树。具体调整方法是，我们将 $2\sim 37$ 分成 $6$ 组，每组 $6$ 个节点，并从每组中选出三个节点 $x,y,z$ ，将 $x,y$ 的父亲均改为 $z$ 。这样总共会有恰好 $12$ 个节点的父亲不是 $1$ 。

每组的调整方法有 $\dbinom{5}{2}·6=90$ 种，对于每种调整方法我们计算出其对哈希值产生的增量 $\Delta H$ 。由于 $X,Y,Z$ 是从 $[2,998244351]$ 中随机生成的，所以 $\Delta H$ 也可视作 $[0,998244352]$ 中的随机数。

于是现在任务转化为，现在有 $6$ 组数，每组中有 $90$ 个数，现在要从每组中选一个数使它们的和 $\equiv f(T)-H_0\pmod{998244353}$ 。这是经典问题，折半搜索即可，时间复杂度 $90^3·\log V$ ，其中 $\log$ 来源于 std::map。由于所有数都可视作随机生成，因此存在解的概率可以视作 $90^6$ 个数中存在一个数与给定数 $\bmod 998244353$ 同余的概率，其值等于 $1-(\dfrac{998244352}{998244353})^{5.31441\times 10^{11}}$ ，使用计算器可算出 $(\dfrac{998244352}{998244353})^{5.31441\times 10^{10}}$ 已经达到了 $10^{-24}$ 级别，因此 $1-(\dfrac{998244352}{998244353})^{5.31441\times 10^{11}}$ 大约是 $1-10^{-240}$ 级别的，如果实在不放心多随几次必然可以随出正确答案。