浅谈博弈论

$$ OI中的博弈论知识小结 $$

$$ By;TYQ $$

声明

A : Alice

B : Bob

他们都绝顶聪明

浅谈博弈论

• 囚徒困境

  从前有两个囚徒Alice和Bob , 他们面对的是这样的一个局面:

  • 如果A不招供且B不招供 , 则A,B均只判1年

  • 如果A,B中有一个人招供 , 则招供者无罪释放 , 不招供者重判15年

  • 如果A,B都招供 , 均判10年

  • 前提条件 : A,B无法事先通信 , 且审讯过程中无法交流

  这个时候 , 我们只看一个人A
  - A如果不招供 , 则最坏有可能被判15年 , 招供则最坏只被判10年

    - 如果我想当个好人 , 则B有可能把我卖了 , 那么我就要被重判
    
    - 所以招供
  

  同时B也是这么想的 , 所以他们都招了 , 均被判15年

• 海盗分金

  有五个海盗 , 他们得到了一百两金子 , 现在他们需要找出一种方案来分这些金子 , 所以他们决定 :

  从一号海盗开始 :

  • 每个海盗提出一种分金方案

  • 如果这个分金方案被超过半数的人认同 , 则按照这种方案分金

  • 否则击杀这个海盗 , 下一个海盗继续

  • 每个海盗都绝顶聪明 , 且不会撒谎 , 对于方案A中自己获得的钱数大于方案B , 则选择方案A

  • 不能把一两财宝再拆开

  现在求一号海盗提出的方案

  我们考虑倒推 :

  • 如果只有一个一个海盗 , 那么显然他将获得所有的财宝

  • 如果只有两个海盗 , 那么最后一个海盗只要否认前边一个海盗便可获得所有财宝

  • 所以有三个人的时候 , 只要第一个人给第二个人一两财宝 , 第二个人都会支持第一个人

  • 这可以轻松推到四个人的时候 : 第一个人给第四个人一两财宝

  • 所以对于五个人的情况 , 只要给第三个人一两财宝 , 第四/五个人2两财宝即可获得3个人资次从而获得97两财宝

• Nim游戏

  有N堆石子 , 第i堆石子有\(A_{i}\)个 , 每次行动被定义为从一堆石子中取任意个石子

  求出先手必胜/必败

  • ICG(公平组合游戏)

    我们说一个博弈是ICG当且仅当这个游戏 :
    - 由两个玩家交替行动

      - **在游戏的任意时刻 , 可以执行的合法行动与轮到哪名玩家无关**
    
      - **不能行动**的玩家判**负**
    

  • 有向图博弈

    一开始在有向无环图的1号点有一个棋子 , 黑白双方珂以把他移动到与他相邻的节点上 , 不能移动者判负

    任何一个ICG都珂以被转化成有向图博弈

  • Mex运算

    Mex(S) = min

  • SG函数

    对于一个节点x ,

    $ SG(X) = Mex{SG(y) | y \in {v | edge(x->v) != -inf}} $