2022.9.11 2022年全国高中数学联赛A卷加试第二题另解

二.设整数$n(n>1)$恰有$k$个互不相同的素因子，记$n$的所有正约数之和为$\sigma(n)$，证明$\sigma(n)|(2n-k)!$（$2022$年全国高中数学联赛加试第二题）

解析#

思路是很简单的，主要运用的思想是数学归纳法
以及引理：任意连续$k$个正整数的乘积都能被$k!$整除
因此，我们通过比较除数与连续正整数个数的大小即得结果
想到此方法并不难，因为题目的结果实在实在实在是太弱了
我们考虑对$n$乘上一个$p^\alpha(p为非n因数的质数)$，此时左边和右边同时扩大，但右边扩大的量级明显比左边大的多，因此很容易联想到数学归纳法
具体分析过后，下面我们给出完整的另证

另解($\mathbb{B}$)#

这里我们采用对$k$归纳的思想

当$k=1$时，设$n=p^r(p$为素数，$r\ge1)$，此时$\sigma(n)=\sigma(p^r)=1+p+p^2+\cdots+p^r$，因而只要证明$1+p+p^2+\cdots+p^r|(2p^r-1)!$，
注意到$2p^r-1-(1+p+p^2+\cdots+p^r)=\dfrac{1}{p-1}((2p^r-1)(p-1)-(p^{r+1}-1))=\dfrac{1}{p-1}(p^r-1)(p-2)\ge0$可知$1+p+p^2+\cdots+p^r\le2p^r-1$，知结论显然成立

下面我们假设结论对$k$成立，则当$k+1$时，设$n$恰有$k+1$个互不相同的素因子，则设$n=p^rn_1(n_1\in\mathbb{Z}^+$，$p\nmid n_1$，$p$为素数，$r\ge1)$，那么$n_1$恰有$k$个互不相同的素因子
对$n_1$利用归纳假设可知$\sigma(n_1)|(2n_1-k)!$

由唯一分解定理，设$n_1=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k}(p_1,p_2,\cdots,p_k,p$为两两互异的素数，$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_k\in\mathbb{Z}^+)$，那么$n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k}p^r$
因而

$$\sigma(n_1)=\dfrac{p_1^{\alpha_1+1}-1}{p_1-1}\cdot\dfrac{p_2^{\alpha_2+1}-1}{p_2-1}\cdots\dfrac{p_k^{\alpha_k+1}-1}{p_k-1}$$

$$\sigma(n)=\dfrac{p_1^{\alpha_1+1}-1}{p_1-1}\cdot\dfrac{p_2^{\alpha_2+1}-1}{p_2-1}\cdots\dfrac{p_k^{\alpha_k+1}-1}{p_k-1}\cdot\dfrac{p^{r+1}-1}{p-1}$$

可知$\sigma(n)=\sigma(n_1)\cdot\dfrac{p^{r+1}-1}{p-1}$
因而欲证$\sigma(n)|(2n-(k+1))!=(2p^rn_1-(k+1))!$，只要证

$$\dfrac{p^{r+1}-1}{p-1}\cdot(2n_1-k)!|(2p^rn_1-(k+1))!$$

而命题等价于 $$\dfrac{p^{r+1}-1}{p-1} | (2n_1-k+1)(2n_1-k+2)\cdots(2p^rn_1-(k+1))$$
注意到$2n_1-k+1(>2\cdot2^k-k+1>0),2n_1-k+2,\cdots,2p^rn_1-(k+1)$是$2p^rn_1-(k+1)-(2n_1-k+1)+1=2n_1(p^r-1)-2$个连续的正整数
故$(2n_1(p^r-1)-2)!|(2n_1-k+1)(2n_1-k+2)\cdots(2p^rn_1-(k+1))$，因此我们只要证

$$\dfrac{p^{r+1}-1}{p-1}|(2n_1(p^r-1)-2)!$$

注意到$(2n_1(p^{r}-1)-2)-(2p^{r}-1)=2(n_1-1)(p^r-1)-3\ge0$（因为$n_1\ge2,p^r\ge2$，当$n_1=2,p^r=2$时$p|n_1$，不符合假设）
故

$$\begin{aligned} &(2n_1(p^r-1)-2)-\dfrac{p^{r+1}-1}{p-1}\\ =&((2n_1(p^r-1)-2)-(2p^r-1))+(2p^r-1-(1+p+p^2+\cdots+p^r))\\ \ge&0+0=0 \end{aligned}$$

从而知上式成立，即结论对$k+1$成立
由归纳原理，知结论对任意$k\in\mathbb{Z}^+$成立，证毕！