二维数点问题及其思想探究

二维数点问题及其思想探究

最近在各个地方接触的一些题目，思索了一下发现居然都是一个东西

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起源是在HDU多校上遇到了这么一个题：

给一个字符串 \(s\) ，有多次询问，每次询问给出 \(x,y\)，要求出 \(s\) 的前 \(x\) 个字符和后 \(y\) 个字符连接组成的模式串在 \(s\) 中出现了多少次。

当时KMPAC自动机SAM一通乱搞，想出了好几种建图方案，但最后都不知道怎么维护答案

赛后看题解说二维数点，学长拍脑门说会了，然而我还没看懂

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然后是数据结构课上zngg掏出了一道老题：

HH的项链（看到名字有的人大概已经知道题意了

就是给一串 \(n\) 个珠子组成的项链，每个珠子有一个颜色，多次询问 \([l,r]\) 区间内出现了多少种颜色

这个题本身比较简单，把询问按右端排序后扫一遍，每次在树状数组中令右端位置权值+1，如果出现过就把其上一次出现的位置在树状数组中-1，这样维护了之后每次询问就可以直接在树状数组中查询 \([l,r]\)​ 的权值和了

优化本质在于离线利用了查询区间的单调性

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再来看二维数点问题：

n*m 的棋盘上有 k 个点，多次询问(a,b)到(c,d)这个子棋盘中有多少个点

n,m,k数据规模都是1e5

看了一圈博客，有人说二维数点本质是三维偏序问题，可以用CDQ分治做

于是我回忆了一下CDQ分治：

三维偏序问题要求数组中 \(i<j\) 且 \(a_i < a_j\) 且 \(b_i<b_j\) 的点对数

把数组按mid分成两段后，CDQ分治只关心横跨mid两端的点对，所以它将左右两端区间分别按 \(a\) 排序，用双指针，\(r\) 指针扫描右半边，同时将左半边所有 \(a_l<a_r\) 的点的 \(b\)​ 权值加入树状数组

这样维护之后，右边每扫到一个点 \(a_r\) 时都可以直接在树状数组中查询小于 \(b_r\) 的数的个数了

仔细一想，发现跟上面那个项链题有异曲同工之妙：离线顺序处理 + 树状数组下标表示权值

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想到了这一步的话，二维数点问题已经迎刃而解了：

首先是把 \((c-f)\)​​​​​​​ （如图）的一组询问拆成 \((a-f)\)​​​​​​​ 和 \((a-d)\)​​​​​​​ ，两个询问减一减就好了，画个图更清楚​​

然后把点和询问都按照 \(x\)​ 排序，从小到大扫一遍，同时把所有横坐标小于当前 \(x\)​ 的点的 \(y\)​ 都加入树状数组

这里跟CDQ分治很像，维护的是另一维，因为 \(x\) 坐标已经被我们排序搞好了

然后对于每一个询问，都可以直接在树状数组中查询了，比如扫到cd时就查询树状数组中cd这段区间有多少点