博弈论

定义

• 必胜或必胜状态：仅仅考虑当前的状态，不考虑的操作人时，一定必胜或必输

• \(a\oplus b\) ：\(a,b\) 在二进制下，对位取反。

• \[SG(i)=mex{\begin{cases} SG(j) & i\rightarrow j \\ SG(j') & i\rightarrow j' \\ \dots \end{cases}} \]

  其中 \(i\rightarrow j\) 表示 \(i\) 有一条边指向 \(j\) ，\(mex\) 指一个数列第一个未出现的非负数

Nim 游戏

考虑有 \(n\) 堆石子，两个人轮流来拿走棋子（至少拿一个），拿到最后剩下的一颗棋子的人获胜。

结论：

定义 Nim 和 \(= a_1\oplus a_2\oplus a_3\oplus\dots\oplus a_n\)。

当 Nim 和 为 \(0\) 时，该状态为必败状态；反之，则为必胜状态。

证明：

我们需要三个引理：

1. 无后继状态为必败状态

   这个情况只有全 \(0\)，同时满足 \(a_1\oplus a_2\oplus\dots\oplus a_n=0\) 。

2. 对于当前状态 \(a_1\oplus a_2\oplus\dots\oplus a_n\ne0\)，一定存在某种移动使得其异或和为 \(0\)

   考虑来构造一下：

   设 \(a_1\oplus a_2\oplus\dots\oplus a_n=s\)，同时设 \(s\) 的在二进制下，最高位为 \(k\) 。

   如果我们想使 \(s\) 变为 \(0\)，就非常想两边同时乘 \(s\) 。

   但是每次进行一次拿石子必须需要时某个 \(a_i\) 减少，

   所以可以考虑在 \(a_i\) 处拿，则需要证明 \(a_i\oplus s<a_i\) 的。

   现在来想一想异或的定义，发现 \(s\) 最高位为 \(1\) ，则在 \(a_1,a_2\dots,a_n\) 肯定有一个 \(t\) ，使得 \(a_t\) 这一位也是 \(1\)

   那就拿 \(a_t\oplus s\) ，我们又发现最高位变成了 \(0\) 。

   由于这是最高位，则 \(a_t\) 比 \(k\) 还高的位就不会改变，所以 \(a_t\oplus s\) 一定 \(<a_t\) 。

   于是就构造出来一组解了。

3. 对于当前状态 \(a_1\oplus a_2\oplus\dots\oplus a_n=0\)，一定不存在某种移动使得其异或和为 \(0\)

   也就是说，只要有一个 \(a\) 数组中数的位发生改变，那么其异或和就不为零了。

SG 函数

在一个有向无环图中，只有一个起点，上面有一颗棋子，两个玩家轮流来移动这颗棋子（必须移动），最先不能移动棋子的人算输。

\(SG(i)\) 那就表示当前在点 \(i\) 状态（为零必输，非零必赢）

SG 定理

有 \(n\) 个有向图游戏组成的组合游戏，设起点分别为 \(s_1,s_2,\dots,s_n\)

则当 \(SG(s_1)\bigoplus SG(s_2)\bigoplus \dots\bigoplus SG(s_n)\ne 0\) 时，则游戏先手必赢

同时，这是该游戏状态 \(x\) 的 SG 值。

证明：

1. 从 \(SG(i)\) 转移到 \(SG(j)=SG(i)\)

   这显然是不可能的，看一会SG 函数的定义就会明白。

2. 从 \(SG(i)\) 转移到 \(SG(j)>SG(i)\)

   那对手就可以移回与 \(SG(i)\) 相等的点，那就无意义了。

3. 从 \(SG(i)\) 转移到 \(SG(j)<SG(i)\)

   其实，可以将其抽象成取石子，那就可以使用 Nim 和（即异或和）来求解