Z 函数（扩展KMP）

简介

定义一个长度为 \(n\) 的字符串 \(s\)，定义 \(z_i\) 表示 \(s\) 和 \(s[i,n]\) 的 \(lcp\)（最长公共前缀），称 \(z\) 为 \(s\) 的 \(Z\) 函数。

朴素算法

暴力枚举，时间复杂度：\(O(n^2)\)

线性算法

我们首先考虑顺次处理 \(z_1,z_2,\dots,z_n\)，当枚举到 \(i\) 时，也就是说 \(z_1,\dots,z_{i-1}\) 是已经求得了。

我们再来定义名词 Z-box ：指与字符串 \(s\) 匹配的前缀区间，同时满足包含 \(i\) （当枚举到 \(i\) 时）且右端点最大。

首先我们来考虑如何更新这个 Z-box （分类讨论）：

1. 设 \(l\) 为左端点（\(i-1\) 的 Z-box），\(r\) 为右端点（\(i-1\) 的 Z-box），\(i\) 为当前枚举的点。

2. 当 \(i>r\) 时，那也就是上一个 Z-box 对于 \(i\) 时没有用处的，那就从 \(i\) 开始，暴力向后匹配求得 Z-box

3. 当 \(i\le r\) 时，分两种情况：

   • \(z_{i-l+1}<r-l+1\)

     

     那么 \(s[1,z[i-l+1]]=s[i-1+1,i-l+z[i-l+1]]=s[i,i+z[i-l+1]-1]\) （图标可能有点问题，以公式为准！！！）

   • \(z_{i-l+1}\ge r-l+1\)

     那么 \(s[1,r-l+1]=s[l,r]\)，但是后面的匹配不能保证所以就向后匹配即可。

时间复杂度证明

枚举 \(i\) 是 \(O(n)\) 的，\(r\) 会一直向后移动也是 \(O(n)\) 的，所以总的来说是 \(O(n)\) 的。

代码实现

inline void getz()
{
	for(int i=1;i<=m;i++)z[i]=0;
	z[1]=m;
	for(int i=2,l=0,r=0;i<=m;i++)
	{
		if(i<=r)z[i]=min(z[i-l+1],r-i+1);
		while(i+z[i]<=m&&b[i+z[i]]==b[z[i]+1])++z[i];
		if(r<i+z[i]-1)l=i,r=i+z[i]-1;
	}
}

同时这个也可拓展到两个串的匹配（\(s\) 与 \(t\) 的每一个后缀的 \(lcp\)），代码实现：

inline void getext()
{
	for(int i=1;i<=n;i++)ext[i]=0;
	for(int i=1,l=0,r=0;i<=n;i++)
	{
		if(i<=r)ext[i]=min(z[i-l+1],r-i+1);
		while(i+ext[i]<=n&&b[ext[i]+1]==a[i+ext[i]])++ext[i];
		if(r<i+ext[i]-1)l=i,r=i+ext[i]-1;
	}
}