组合数学

排列与组合

排列

$$A_{m}^{n}=\frac{n!}{(n-m)!}$$

组合

$$C_{m}^{n}=\frac{A_{n}^{m}}{m!}=\frac{n!}{m!(n-m)!}$$

同时，还有递推公式 $\dots$

$$C_n^m=C_{n-1}^{m-1}+C_{n-1}^{m}$$

证明：

首先，可以将 $C_n^m$ 看作在 $n$ 个数里选 $m$ 个数的方案数。

其次，可以抽象地把 $n$ 个数，分为 $n-1$ 和 $1$ 两堆。

最后，$C_{m-1}^{n-1}$ 就表示一定选只有一个数的那个堆，在另一堆里选 $m-1$ 个数的方案数；$C_{n-1}^{m}$ 就表示不选只有一个数的那个堆，在另一堆里选 $m$ 个数的方案数