0-1 BFS

前言：做这道题发现dij过不了，意识到自己不会0-1 BFS，遂查，发现网上的解释很多都不清楚，oi wiki 好像没讲，自己证明了一下。

算法过程：

用于求边权为 $0$ 或 $1$ 的图的最短路。方法就是把 dij 的单调队列换成一个 deque，每次更新如果用边权为 $0$ 的边，把新的点放到队首，反之放到队尾，复杂度 $\mathrm{\Theta }(n+m)$。

为什么是对的：

根据 dij 的正确性证明，只需证 deque 内的点的 $dis$ 单调不增。
下证明 deque 内的数的 $dis$ 事实上形如 $[d,d,...d,d+1,d+1,...,d+1]$。

1. 初始时，deque 内的数的 $dis$ 为 $[0]$，符合要求
2. 每次拓展时取链头 $u$，$di{s}_u=d$ 故当更新到边权为 $0$ 的 $di{s}_v=d$，放在队头，满足性质，否则 $di{s}_v=d+1$，放在队尾，仍满足性质。

综上，命题成立

复杂度：

类似 dij，每一个点都仅会被用来拓展一次，故每一条边也仅会被用来拓展一次。而每一次入队操作都只能由一条边造成，故复杂度为 $\mathrm{\Theta }(n+m)$。