佩尔方程
Pell方程
形如 \(x^2-dy^2=1\) 的二元二次不定方程，x、y均为大于等于0的整数，d为整数。
欧拉错误地认为沃利斯书中的方法属于另一位英国数学家佩尔，欧拉称之为我们目前所熟知的“佩尔方程”。
平凡情形
- d<=0，唯一解 \((1,0)\) 。
- d>0且是平方数，唯一解 \((1,0)\) 。
I型Pell方程
形如： \(x^2-dy^2=1\) ，d为大于0的非平方数。
基本解
设\(x_0,y_0\)是满足方程的所有正整数解当中使得\(x_0+\sqrt{d}y_0\)最小的一组解，则称 \((x_0,y_0)\)是方程的基本解。
必有解
拉格朗日第一次公开给出了证明方法。
解的形式
方程有无穷多组正整数解，并且其全部解可由它的基本解 以如下形式表示：
矩阵形式
\[{\LARGE\left(\begin{array}{l}
x_{n} \\
y_{n}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}
x_{0} & d y_{0} \\
y_{0} & x_{0}
\end{array}\right)^{n}\left(\begin{array}{l}
x_{0} \\
y_{0}
\end{array}\right)}
\]
递推形式
\[{\LARGE \begin{align}
x_{n+1} &= x_n^2+dy_n^2 \\
y_{n+1} &= 2x_ny_n
\end{align}}
\]
计算基本解
计算连分数
https://blog.csdn.net/wh2124335/article/details/8871535
https://mathworld.wolfram.com/PeriodicContinuedFraction.html
列出d<=75的最小解
II型Pell方程
形如： \(x^2-dy^2=-1\) ，d为大于0的非平方数。
可能有解
对于一般的d，断定II型Pell方程是否有解是一个比较困难的问题。
基本解
\((a,b)\) 为II型Pell方程的基本解，等式成立 \(x_0+y_0\sqrt{d}=(a+b \sqrt{d})^{2}\) ，其中 \((x_0,y_0)\)是I型Pell方程的基本解。
解的形式
如果该方程有一组正整数解，那么它就一定有无穷多组解。解形式：
\[{\LARGE x+y\sqrt{d}=(a+b \sqrt{d})^{2 n+1}}
\]
计算根号
利用I型Pell方程。
例如：计算\(\sqrt{5}\)的值。
\(x^2-5y^2=1\) 的基本解为\((9,4)\)，第2个解为$(161,72) $ 。
\({\LARGE\sqrt{5}\approx \frac{161}{72}}\)，精度非常高。
20以内开平方
20以内的开平方，记住佩尔方程的特解，一般计算2次即可。
| 开方数 | 计算 | 简化记忆 |
|---|---|---|
| 2 | 3/2、17/12 | 6/4 |
| 3 | 2/1、7/4 | 7/4 |
| 4 | 2 | 8/4 |
| 5 | 9/4、161/72 | 9/4 |
| 6 | 5/2、49/20 | 15/6 |
| 7 | 8/3、127/48 | 16/6 |
| 8 | 17/6 | 17/6 |
| 9 | 3 | 18/6 |
| 10 | 19/6 | 19/6 |
| 11 | 10/3 | 20/6 |
| 12 | 7/2、97/28 | 28/8 |
| 13 | 649/180 | 29/8 |
| 14 | 15/4 | 30/8 |
| 15 | 4/1、31/8 | 31/8 |
| 16 | 4 | 32/8 |
| 17 | 33/8 | 33/8 |
| 18 | 17/4 | 34/8 |
| 19 | 170/39 | 35/8 |
refer
在线计算佩尔方程
