SRM609 DIV2 950

题意：

有三个歌手想制作一个含有S(1<=S<=50)首歌的专辑，其中这三名歌手分别唱x,y,z首歌(0<=x,y,z<=50)，每一首歌至少要有一个人唱（可以是其中任一个人、两个人或者三个人的组合），问专辑可能有多少种（不同种类的专辑：两个专辑至少有一首歌是不同组合的歌手唱的）？结果对1000000007取模。

分析：

一个个考虑，先考虑第一位歌手，可能性是\(C(_S^x)\)；

在剩余的S-x首歌种，第二位歌手在这剩余的歌中至少唱多少首歌呢？首先要保证至少每首歌有一个人唱，如果S-x-z>=0，则至少唱S-x-z首歌，否则最少唱0首；最多唱多少首呢？不超过S-x且不超过y，假设唱了i首歌，可能性是\[\sum_{i=\text{max}(0,S-x-z)}^{\text{min}(S-x,y)}C(_{S-x}^i)C(_x^{y-i})\]

对于第三位歌手，必须把目前剩余的歌(S-x-i)唱完，剩余的在x+i首歌种任意选择，所以总的可能性是：

\[C(_S^x)\sum_{i=\text{max}(0,S-x-z)}^{\text{min}(S-x,y)}C(_{S-x}^i)C(_x^{y-i})C(_{x+i}^{z+x+i-S})\]

 

组合数预处理下或者记忆化。