ARC

ARC165

\(\rm Performance\ 2691\)，\(4\) 题。

打得比较正常，唯一缺憾是 \(\rm E\) 不会。

A - Sum equals LCM

略。

B - Sliding Window Sort 2

略。

C - Social Distance on Graph

把边排序之后直接判断当前是否是二分图，如果不是就寄了，算一下答案即可。

D - Substring Comparison

我们尽可能让限制在比较短的地方合法。

那么直接枚举合法的长度，建边之后缩点，不同 \(\rm scc\) 之间已经合法，同一个 \(\rm scc\) 内的限制则直接加入下一个长度，如果所有条件均合法直接退出。

需要注意的是每次建图要在缩点之后的图上建，不过我直接在原图上建边也过了。

E - Random Isolation

单独考虑每个连通块的贡献，发现如果这个连通块的大小 \(\ge k\) 则一定要被删一次，设 \(U\) 为连通块集合，\(P(T)\) 为连通块 \(T\) 出现的概率，则答案就是 \(\sum_{T \in U} P(T)\)。

考虑固定 \(T\) 如何计算 \(P(T)\)，设 \(n\) 为 \(T\) 的大小，\(m\) 为与 \(T\) 直接相连的点个数，那么最终要形成连通块 \(T\)，显然要先把 \(m\) 个点删完，并且这 \(n\) 个点必须没被删，所以概率是 \(\dfrac{n!m!}{(n+m)!}\)。

然后直接树形 DP 就行了。

F - Make Adjacent

感觉是个很套路的题。

考虑什么情况下 \(x\) 一定要在 \(y\) 前面，设 \(l_i,r_i\) 为 \(i\) 的两个出现位置，那么条件是 \(l_x<l_y\) 且 \(r_x<r_y\)。

于是直接主席树优化建图即可。

ARC162

\(\rm performance \ 2195\)，\(3\) 题，打得非常唐。

不光手速很慢还四发罚时，并且 \(\rm D\) 在硬 DP，没往 \(\rm prufer\) 序列上考虑，最终搞出了一个很阴间的 \(\Theta(n^4)\) DP。

A - Ekiden Race

略。

B - Insertion Sort 2

直接插排，\(\rm NO\) 写成 \(\rm -1\) 罚了一发。

C - Mex Game on Tree

不难发现如果后手在某个点塞个 \(k\)，那么这个点到根的链上的所有点都废了。

并且如果先手需要走两步，后手一定可以在先手走一步之后塞个 \(k\)。

所以先手必胜仅当一步取胜。

直接判断就行了，不知道为什么罚了三发！！！！

D - Smallest Vertices

先考虑如何计数合法树个数，直接在 \(\rm prufer\) 序列上考虑，答案显然是 \(\dfrac{(n-2)!}{\prod (d_i-1)!}\)。

然后固定 \(x\) 计数 \(x\) 对答案的贡献。

直接 DP 就行了，由于上面那个式子所以只关心一个连通块的出度之和以及点数，都加到状态里就行了。

E - Strange Constraints

具有启发意义的题。

首先题目看上去非常难做，这个“\(B_i\) 的出现次数最多为 \(A_i\)“的限制条件直接导致了按照 \(A_i\) 的顺序填与 \(B_i\) 的顺序填都无法做到多项式复杂度，因为信息难以记录。

考虑换一种顺序填，按照个数从大到小填。

为什么这样是对的呢？假设我们当前在填次数为 \(i\) 的数。那么我们需要知道：

• 当前序列中有几个 \(j\) 满足 \(A_j \ge i\)，并且值为 \(j\) 的数没被填过。
• 当前序列中有几个 \(j\) 满足 \(A_j \ge i\)，并且位置 \(j\) 上没有数。

我们发现现在的信息都是“个数”，换句话说，都是 \(\Theta(n)\) 级别的，至少能够轻松做到多项式复杂度。

如果你已经知道了填入顺序，这题自然也变成了一道基础 DP 题，直接设 \(dp_{i,x,y}\) 表示填到次数 \(i\)，有 \(x\) 个值被填了，\(y\) 个位置被填了。

转移可以直接来，复杂度稍微分析一下就能发现是 \(\Theta(n^3)\) 的。

F - Montage

具有启发意义的题。

考虑将空行和空列都缩起来之后再计数。

不难发现此时每行的 \(1\) 都是一个区间并且从上到下左右端点都单调不升，而且任意两个 \(1\) 都八连通。

于是直接 DP 计算即可。

ARC179

打得同样很唐，主要原因是出题人放了 \(\rm D\) 这个答辩题，并且我不会调题。

A - Partition

赛时 \(+\) 看成 \(\times\) 了，浪费了一点时间。

只要排个序就做完了。

B - Between B and B

暴力状压。

C - Beware of Overflow

比较显然的是在题目的约束条件下若每次都取最大值和最小值那一定合法。

于是可以用线段树维护全局 \(\max\) 和 \(\min\)，注意询问需要记忆化，而且细节一车（我只会想恶心做法）。

D - Portable Gate

赛后又调了 \(1h\) 才过 /oh

如果没有传送，那答案就是 \(2 \times (n-1)\)。

枚举根，然后是一个普及组 DP，设 \(dp_{x,0/1}\) 表示在点 \(x\)，是否需要回到根的最大减少的遍历次数，转移直接来，能轻松做到 \(\Theta(n^2)\)。

然后换根一下就做完了，但是细节令人上头。

E - Rectangle Concatenation

感觉是好题。

用一个二元组 \((x,y)\) 表示当前遍历到 \(x\)，\(x\) 的方向是竖着还是横着。

那我们考虑 \((x,0)\) 和 \((x,1)\) 是否能转移到 \((x+1,0)\) 和 \((x+1,1)\)。

比较显然的是如果 \(h_x=h_{x+1}\) 那么 \((x,0) \rightarrow (x+1,0)\)，如果 \(w_x=w_{x+1}\)，那么 \((x,1) \rightarrow (x+1,1)\)。

现在需要解决的问题是 \((x,y)\) 与 \((x+1,1-y)\) 之间的转移。

我们可以发现一个性质：若 \((x,y)\) 能转移到 \((x+1,1-y)\)，那从 \(l\) 遍历到 \(x\) 的矩形面积是确定的，于是 \(l\) 就确定了，我们将这条转移边放到点 \(l\) 上，等到遍历到 \(l\) 时加入这条边即可。

现在我们已经可以维护出这张图了，考虑计算答案。

比较显然的是对于一个 \(l\)，符合条件的 \(r\) 是一段区间，于是线段树上二分一下即可。

ARC158

A - +3 +5 +7

略。

B - Sum-Product Ratio

不难发现答案一定是排序后连成环环上的某连续三个点，直接计算即可。

C - All Pair Digit Sums

按位考虑，设当前考虑到第 \(10^x\) 位。

那么令所有 \(a_i \leftarrow a_i \bmod 10^{x+1}\)，那此时这一位的贡献就是 \((a_i+a_j)/10^x \bmod 10\)。

那么枚举 \(a_i\)，对 \(a_j\) \(\bmod 10\) 的余数分讨后前缀和即可。

D - Equation

非常震撼。

设 \(F(x,y,z)\) 为左边的式子，\(G(x,y,z)\) 为右边的式子。

随机 \(x,y,z\)，设 \(F(x,y,z)=tG(x,y,z)\)。

那么 \(\dfrac{x}{t},\dfrac{y}{t},\dfrac{z}{t}\) 是一组合法解。

做完了。

E - All Pair Shortest Paths

考虑分治。

不难发现一条最短路只会从上往下或从下往上走一次。

进一步，发现一条最短路不会出现 \(\rm 360\) 度拐弯，因此可以直接在中点处考虑路径。

设当前分治区间为 \([l,r]\)，那么我们取出 \(mid\) 和 \(mid+1\)，考虑左端点在 \([l,mid]\)，右端点在 \([mid+1,r]\) 的路径。

考虑一个对 \((x,y)\)，设 \(x\) 到 \((0,mid)\) 的最短路为 \(a\)，到 \((1,mid)\) 的最短路为 \(b\)，\(y\) 到 \((0,mid+1)\) 的最短路为 \(c\)，到 \((1,mid+1)\) 的最短路为 \(d\)，那么答案自然是 \(\min(a+c,b+d)\)。

考虑 \(\min\) 取到左边的条件，\(a+c \le b+d\)，\(a-b \le d-c\)。因此直接排序后一维数点即可。

F - Random Radix Sort

观察答案序列，发现每种重排仅有最后那个是有用的，这比较显然。

那么仅保留有用的重排，仅有 \(k\) 个，将剩余重排插入有用序列的方案数是一个斯特林数。

考虑对于有用的重排，从后往前填数，进行一个状压。

还需要一个性质：若要保证最终成为 \(B\) 序列，仅需 \(\forall i\)，保证 \(B_i\) 出现再 \(B_{i+1}\) 之前。

考虑 \(B_i\) 与 \(B_{i+1}\) 在 \(A\) 序列中的相对位置关系，如果 \(B_i=B_{i+1}\)，自然是没有限制的，否则如果 \(B_{i+1}\) 在 \(A\) 序列中位置靠前，那么必须存在一个操作 \(\rm swap\) 了 \(B_i\) 与 \(B_{i+1}\)。

由于是从后往前填数，那操作可以描述成：对于所有没有确定相对顺序的数，按照当前关键字排序。

因此我们可以写出若干限制条件，形如：“当前如果填操作 \(k\)，那么前面的操作必须包含至少一个集合 \(S_k\) 中的元素”或“全局至少存在一个集合 \(S\) 中的操作”。

对着限制条件 DP 即可。